【题解】POJ1845 Sumdiv（乘法逆元+约数和）

POJ1845：http://poj.org/problem?id=1845

思路：

A^B可以表示成多个质数的幂相乘的形式：A^B=（a₁ⁿ¹）*(a₂ⁿ²)* ...*(a_m^nm)

根据算数基本定理可以得约数之和sum=(1+a₁+a_1²+...+a_1ⁿ¹)*(1+a₂+a_2²+...+a_2ⁿ²)*...*(1+a_m+a_m²+...+a_m^nm) mod 9901

对于每个(1+a_i+a_i²+...+a_iⁿⁱ) mod 9901=（a_{i⁽ⁿⁱ⁺¹⁾}-1)/(a_i-1) mod 9901 （等比数列前n项目和）分母可用快速幂算出

因为9901是质数，只要a_i-1不是9901的倍数就只要计算a_i-1的乘法逆元inv（用费马小定理），再乘（a_{i⁽ⁿⁱ⁺¹⁾}-1) 直接算出ans

PS：若a_i-1是9901的倍数 此时乘法逆元不存在 但是a_i mod 9901=1 所以1+a_i+a_i²+...+a_iⁿⁱ=1+1+...+1=n_i+1

代码：

#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> using namespace std; #define mod 9901 int a,b,m,ans=1; int p[20],c[20];//p是质数 c是指数 void divide(int n) { m=0; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { p[++m]=i; c[m]=0; while(n%i==0) { n/=i; c[m]++; } } } if(n>1) { p[++m]=n; c[m]=1; } } int quickpow(int a,long long b) { int c=1; for(;b;b>>=1) { if(b&1) c=(long long)c*a%mod; a=(long long)a*a%mod; } return c; } int main() { cin>>a>>b; divide(a);//分解A的质因数 b到后面在乘上 for(int i=1;i<=m;i++) { if((p[i]-1)%mod==0)//特判当ai-1是9901的倍数 乘法逆元不存在 { ans=((long long)b*c[i]+1)%mod*ans%mod; continue; } int x=quickpow(p[i],(long long)b*c[i]+1);//快速幂求分母 x=(x-1+mod)%mod; int y=p[i]-1; y=quickpow(y,mod-2);//根据费马小定理求乘法逆元 ans=(long long)ans*x%mod*y%mod; } cout<<ans; } View Code

 

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