【多视图几何】对极几何与基础矩阵

本文未指明图片来源为 Multiple View Geometry in Computer Vision 。

读 Multiple View Geometry in Computer Vision 所做笔记。

第 9 章 《对极几何与基础矩阵》，Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix。

对极几何研究的对象是双视图几何，即两张相邻影像的位姿关系。

1. 对极几何基础概念

核点（epipole）：基线（baseline）与成像平面的交点。同时极点也可以理解为相邻影像成像中心在本影像上的像，因为基线是两个相邻影像成像中心的连线。核平面（epipolar plane）：含有基线的平面，是一簇平面。可以看做是由基线与空间中任意一点构成的平面。核线（epipolar line）：核平面与成像平面的交线。可以看做是成像平面上的任意一点（非核点）与核点所定义的直线。

2. 基础矩阵 F

基础矩阵可以看做是将点投影（转换）为直线，将左影像上的一个点投影到右影像上形成一条核线。

2.1 几何推导基础矩阵

假设有一空间平面 \(\pi\)，将 \(\pi\) 上的点 $ X $ 投影到左右影像上，可以得到这个三维点在两张影像上的像 $ x, x^{\prime} \(，将空间平面上所有的点都进行投影，能够得到左右影像上所有点的对应关系，这种对应关系可以使用单应矩阵（homography matrix, page 87）\) H_{\pi} $ 描述：

\[ x^{\prime} = H_{\pi}x \]

右影像上的核线 $ l^{\prime} $ 可以由两个点——右影像上的核点 $ e^{\prime} $ 与右影像上的任意一点 $ x^{\prime} $ ——确定：

\[ l^{\prime} = e^{\prime} \times x^{\prime} = [e^{\prime}]_{\times}x^{\prime}\]

将 $ x^{\prime} = H_{\pi}x $ 代入：

\[ l^{\prime} = [e^{\prime}]_{\times}H_{\pi}x = Fx \]

这样就得到了基础矩阵的定义：

\[ F = [e^{\prime}]_{\times}H_{\pi}\]

因为 $ x^{\prime} $ 在右核线 $ l^{\prime} $ 上，所以点积为 \(0\) ：

\[ {x^{\prime}}^{T}l^{\prime} = {x^{\prime}}^{T}Fx = 0 \]

2.2 代数推导基础矩阵

空间中三维点 $ X $ 反向投影到左影像上得到点 $ x $，这个过程可以用投影矩阵 $ PX = x $ 进行描述。

现在想办法将 $ X $ 用 $ x $ 表示，$ P $ 是一个 4x3 的矩阵，不可逆。使用 $ P $ 的伪逆：$ P^{+} = P^{T}{(PP^{T})}^{-1} $，得

\[ X = P^{+}x \]

对于左影像 $ X $ 是对应一条直线上的所有点，可以使用下面的方程表示这一条直线：

\[ X(\lambda) = P^{+}x + \lambda C \]

现在将这一条直线投影到右影像上，即可得到右影像的核线。投影的方式是在 $ X(\lambda) $ 上找到两个点，将这两点分别投影到右影像上，投影后的两个点确定右影像上的核线。

取 $ \lambda $ 为0，得到直线上的第一个点 $ P^{+}x $ ，取 \(\lambda\) 为 $ \infty $ 得到直线上的第二个点 \(C\) （即左影像的成像中心）。将这个两个点分别投影到右影像上，得到 $ P^{\prime}P^{+}x $ 与 \(P^{\prime}C\) 。$ P^{\prime}C = e^{\prime} $，左影像成像中心在右影像上的成像是核点。这两个点叉乘即可得到右影像上的核线：

\[ l^{\prime} = (P^{\prime}C)\times(P^{\prime}P^{+}x) = [e^{\prime}]_{\times}P^{\prime}P^{+}x = Fx\]

所以 $ F = [e^{\prime}]_{\times}P^{\prime}P^{+} $。

2.3 基础矩阵的性质

转置对称性：如果 $ F $ 是一对影像 $ (P, P^{\prime}) $ 的基础矩阵（即 $ x^{\prime}Fx = 0 $ ），反过来 $ (P^{\prime}, P) $ 的基础矩阵是 $ F^{T} $。证明很简单，直接对 $ x^{\prime}Fx = 0 $ 两侧分别转置，得到 $ x^{T}F^{T}{x^{\prime}} = 0 $ 。核线：对于左影像上任意一点 $ x $ ，其在右影像上的核线为 $ l^{\prime} = Fx $ 。核点：任何核线都会经过核点，所以有对于左影像上任意一点 $ x $ ，$ {e^{\prime}}^{T}l^{\prime} = {e^{\prime}}^{T}(Fx) = 0 $ ，于是有 $ {e^{\prime}}^{T}F = 0 $ 。同理有 $ Fe = 0 $ 。$ F $ 具有7自由度：一个 3x3 的单应矩阵，具有8个自由度，而 $ F $ 还满足 $ det F = 0 $，所以 $ F $ 具有7个自由度。$ F $ 是相关的：$ F $ 将左影像上的一点 $ x $ 投影到右影像上一条核线 $ l^{\prime} $，投影本质上是将 $ x $ 与左核点的连线 $ l $ 投影到右影像上的核线 \(l^{\prime}\) ，所以右影像上的一条核线 $ l^{\prime} $ 对应的是左影像上的一条核线 $ l $，这种点到线的投影不可逆。

2.4 核线的单应性

一张截图说明一切：

两张影像上核线的对应关系可以看作是中心投影，投影中心 $ p $ 位于核线上。

求左核线 $ l $ 对应的右核线 $ l^{\prime} $ 是现在左核线上找一点 $ x $ 使用基础矩阵通过 $ l^{\prime} = Fx $ 计算得到。 $ x $ 是任意的，只需要其在 $ l $ 上就行。可以通过做核线 $ l $ 与另一条不经过核点直线的交点计算得到 $ x $ 。假设另外一条直线为 $ k $，那么 $ l $ 与 $ k $ 的交点为 $ [k]_{\times}l $ ，所以右核线的计算方法如下：

\[ l^{\prime} = F[k]_{\times}l \]

直线 $ k $ 选择为 $ e $ 能够简化计算，直线 $ e $ 肯定不会通过核点 $ e $ （$ e^{T} e \neq 0$），所以对应核线的计算公式整理如下：

\[ l^{\prime} = F[e]_{\times}l \]

\[ l = F^{T}[e^{\prime}]_{\times}l^{\prime} \]

3. 从特殊运动中推导基础矩阵

3.1 仅有位移

在仅有位移的情况下，左右相机的内参也一致，左右相机的投影矩阵可以写成 $ P = K[I | 0], P^{\prime} = K[I | t] $， 由

\[ F=[e^{\prime}]_{\times}K^{\prime}RK^{-1} \]

可以得到

\[ F = [e^{\prime}]_{\times} \]

计算两张影像上影像坐标的对应关系。

$ x= PX = K[I | 0]X $ 左影像的投影关系，现在反求空间点 $ X $ 的坐标，$ (X, Y, Z)^{T} = ZK^{-1}x $，其中 $ Z $ 是标量，表示 $ X $ 的深度。将 $ X $ 的坐标计算结果带入右影像的投影关系 $ x^{\prime} = P^{\prime}X = K[I | t]X $，可以得到 $ x^{\prime} $ 与 $ x $ 的关系：

\[ x^{\prime} = x + Kt/Z \]

3.2 旋转与位移

当两张影像相对位姿含有旋转与位移时，先将左影像进行旋转，与右影像对齐（具有相同的姿态）。于是将问题简化为上述的位移问题。

将一张影像仅做旋转，相当于将影像进行一次平行投影（投影点在无穷远处），如下图：

这个平行投影可以使用单应矩阵 $ H_{\infty} $ 表示，$ H_{\infty} $ 通过两张影像的投影矩阵计算得到。

\[ x = K^{\prime}[I | 0]X \]

\[ x^{\prime} = K[R | 0]X = KRK^{-1}K[I | 0]X = KRK^{-1}x \]

将上式的 $ x^{\prime} $ 替换 $ x^{\prime} = x + Kt/Z $ 中的 $ x $，即可得到最后的结果：

\[ x^{\prime} = KRK^{-1}x + Kt/Z \]

转载于:https://www.cnblogs.com/JingeTU/p/6390915.html

相关资源：计算机视觉中的多视图几何（中文版）