参考了Ruey S. Tsay的《Analysis of Financial Time Series, 3rd Edition》由王远林，王辉和潘家柱翻译的中文版本《金融时间序列分析第三版》中关于伊藤引理的介绍，再次基础上给出伊藤引理的简单证明。
首先，考虑一个二元函数 G G G，在这里 G G G为 x t x_{t} xt和 t 的可微函数，即 G = G ( x t , t ) G=G(x_{t},t) G=G(xt,t)，其中 x t x_{t} xt是一个伊藤过程，对函数二元 G G G进行泰勒展开，这里省略 x t x_{t} xt的下标t 将伊藤过程写成离散形式 为了简便，省略 μ \mu μ和 σ \sigma σ的变元，并记 Δ x = x t + Δ t − x t \Delta x=x_{t+\Delta t} -x_{t} Δx=xt+Δt−xt，由方程 (2)可以证明 根据 ( Δ x ) 2 (\Delta x)^{2} (Δx)2当 Δ t → 0 \Delta t\rightarrow0 Δt→0 的极限 σ 2 ε 2 Δ t \sigma^{2}\varepsilon^{2}\Delta t σ2ε2Δt可以得到 这里利用到了卡方分布均值和方差的性质， E ( χ 2 ( n ) ) = n E(\chi^{2}(n))=n E(χ2(n))=n， V a r ( χ 2 ( n ) ) = 2 n Var(\chi^{2}(n))=2n Var(χ2(n))=2n，其中 n n n为卡方分布的自由度， ε \varepsilon ε服从均值为0，方差为1的标准正太分布。 方程(5)和 (6)说明了 σ 2 ε 2 Δ t \sigma^{2}\varepsilon^{2}\Delta t σ2ε2Δt当 Δ t → 0 \Delta t\rightarrow0 Δt→0时将会收敛到一个非随机变量 σ 2 Δ t \sigma^{2}\Delta t σ2Δt，因此由方程 (4)，当 Δ t → 0 \Delta t\rightarrow0 Δt→0 时 , ( Δ x ) 2 → σ 2 d t (\Delta x)^{2} \rightarrow\sigma^{2}dt (Δx)2→σ2dt ，将此结果和方程 (3)中的结果带入方程(1)中， 忽略高阶项，取微分形式 将伊藤过程(2)的微分形式 (8)带入方程 (7)中，并忽略其变元，得到伊藤引理 参考文献 Tsay R. 金融时间序列分析[M]. 人民邮电出版社，2012.
