约瑟夫环两种解题方式

mac2024-01-26  36

题目:

 Josephus有过的故事:39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓。于是决定了自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀。然后下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从,Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

对于这个题目大概两种解法:

一、使用循环链表模拟全过程

#include<iostream> using namespace std; /************约瑟夫问题****************/ typedef struct CLinkList { int data; struct CLinkList *next; }node; int main() { ///建立循环链表 node *L,*r,*s; L = new node; r =L; int n = 41,i; int k = 3; for(i = 1;i<=n;i++) //尾插法建立链表 { s = new node; s->data = i; r->next = s; r= s; } r->next =L->next; //让最后一个结点指向第一个有数据结点 node *p; p = L->next; delete L; //删除第一个空的结点 ///模拟解决约瑟夫问题 while(p->next != p) //判断条件:因为最后肯定剩下一个人, 循环链表的最后一个数据的next还是他本身 { for(i = 1;i<k -1;i++) { p = p->next; //每k个数死一个人 } cout<<p->next->data<< "->"; p->next = p->next->next; //将该节点从链表上删除。 p = p->next; } cout<<p->data<< endl; return 0; } 二、公式法     我们假设这41个人编号是从0开始,从1开始报数,第3个人自杀。

1、最开始我们有这么多人:

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第一次自杀,则是(3-1)%41=2 这个人自杀,则剩下:

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然后就是从编号为3%41=3的人开始从1报数,那么3号就相当于头,既然是头为什么不把它置为0,这样从它开始就又是与第1,2步一样的步骤了,只是人数少了一个,这样不就是递归了!!!就可以得到递归公式。想法有了就开始做:

4、把第2步中剩下的人编号减去3映射为:

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出现负数了,这样不利于我们计算,既然是环形,37后面报数的应该是-3,-2,那么把他们加上一个总数(相当于加上360度,得到的还是它)

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

6、这样就是一个总数为40个人,报数到3杀一个人的游戏。

这次自杀的是第5步中的(3-1)%40=2号,但是我们想要的是第2步中的编号(也就是最初的编号)

那最初的是多少?对应回去是5;

这个5是如何得到的呢?是(2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素对应到第2步都是正确的。

7、接下来是

[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]

自杀的是(3-1)%39=2,先对应到第5步中是(2+3)%40=5,对应到第2步是(5+3)%41=8。

8、这下看出来规律了把:

我们是正着推的,如果反过来推导,每次剩下的人的编号为f(i),剩一个人的时候编号一定为0,两个人为0,1,以此类推,则利用以下公式可以推导出每次剩下的人。

f( 1)= 0; f(i)=(f[i -1]+m)%i;(i> 1) 代码如下: #include<iostream> using namespace std; ///推导公式方法 int yuesefu(int n,int m){         if(n == 1){                 return 0; //这里返回下标,从0开始,只有一个元素就是剩余的元素0         }         else{                 return (yuesefu(n -1,m) + m) % n; //我们传入的n是总共多少个数         } } int main(void){         int a= 41,b= 3;         //递归求最后一个存活的编号         //使用从正向思考         cout<< "最后一个人是"<<yuesefu(a,b)+ 1<< endl;         //反向思考,从自杀的最后一人向前         int result = 2;         //第一个自杀的人3号         cout<< 3;         //每次自杀的都是2号,但是不同的2号换算到最初序号所需的的次数是不同的         //外循环是循环不同的换算次数         for( int i = a; i >= 2 ; i-- )         {             result = 2;             //内循环是开始换算             for( int j = i; j <= a; j++)             {                 result = (result+b) %j;             }                cout<< "->"<<result+ 1; //0开始变1开始,所以加1         }         return 0; }

结果是一样的:

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