{ f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上满足
① ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in[a,b] ∀x∈[a,b]， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}为单调（注意：这里是固定x对n单调），且 lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) n→∞limfn(x)=f(x)② f , f n f,f_n f,fn都连续则 f n ( x ) ⇉ f ( x ) , x ∈ [ a , b ] f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in[a,b] fn(x)⇉f(x),x∈[a,b]
则 ψ n ( x ) ⇉ 0 ， x ∈ [ a , b ] \psi_n(x)\rightrightarrows 0，x\in[a,b] ψn(x)⇉0，x∈[a,b]
只用证明等价定理，由于 ψ n \psi_n ψn非负且关于n单调，因此只需要证明 ∀ ε > 0 , ∃ n ∈ N , 使 得 对 ∀ x ∈ [ a , b ] ， 有 \forall\varepsilon>0,\exist n\in N,使得对\forall x\in[a,b]，有 ∀ε>0,∃n∈N,使得对∀x∈[a,b]，有 ψ n ( x ) < ε \psi_n(x)<\varepsilon ψn(x)<ε则只要证明 ψ n \psi_n ψn在区间上的最大值 < ε <\varepsilon <ε即可
由 ψ n \psi_n ψn连续可知，对每一个n， ψ n 在 [ a , b ] \psi_n在[a,b] ψn在[a,b]上都存在最大值，设它在 x n x_n xn点取得的最大值为 M n M_n Mn又由于 { x n } \{x_n\} {xn}是有界数列，故存在一收敛子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk}，且收敛子列有极限值 x 0 x_0 x0，即 lim k → ∞ x n k = x 0 \lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0 k→∞limxnk=x0 x 0 x_0 x0满足 lim n → ∞ ψ n ( x 0 ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}\psi_n(x_0)=0 n→∞limψn(x0)=0于是对 ∀ ε > 0 , ∃ m ∈ N ， 使 得 \forall\varepsilon>0,\exist m\in N，使得 ∀ε>0,∃m∈N，使得 ψ m ( x 0 ) < ε \psi_m(x_0)<\varepsilon ψm(x0)<ε再证明 ψ m ( x n k ) < ε \psi_m(x_{n_k})<\varepsilon ψm(xnk)<ε:由于 ψ m \psi_m ψm连续，因此有 lim k → ∞ ψ m ( x n k ) = ψ m ( x 0 ) \lim\limits_{k\to\infty}\psi_m(x_{n_k})=\psi_m(x_0) k→∞limψm(xnk)=ψm(x0)于是由于 ψ m ( x 0 ) < ε \psi_m(x_0)<\varepsilon ψm(x0)<ε，知 ∃ k 0 ∈ N , 当 k > k 0 时 ， 有 ： ψ m ( x n k ) < ε \exist k_0\in N,当k>k_0时，有：\psi_m(x_{n_k})<\varepsilon ∃k0∈N,当k>k0时，有：ψm(xnk)<ε再取一个 k > k 0 , 且 让 n k ≥ m k>k_0,且让n_k\ge m k>k0,且让nk≥m,由 { ψ n } \{\psi_n\} {ψn}单调递减，有 M n k = ψ n k ( x n k ) ≤ ψ m ( x n k ) < ε M_{n_k}=\psi_{n_k}(x_{n_k})\le\psi_m(x_{n_k})<\varepsilon Mnk=ψnk(xnk)≤ψm(xnk)<ε令 n = n k n=n_k n=nk，有： M n 是 ψ n 在 [ a , b ] M_n是\psi_n在[a,b] Mn是ψn在[a,b]上的最大值，故对任意x，有 ψ n ( x ) < ε \psi_n(x)<\varepsilon ψn(x)<ε，从而证明函数列一致收敛于0