NumPy学习笔记20.线性代数

NumPy线性代数

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，下表是一些函数：

函数描述dot两个数组的点积，即元素对应相乘vdot两个向量的点积inner两个数组的点积matmul两个数组的矩阵积determinant数组的行列式solve求解线性矩阵方程inv计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和：

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m]) numpy.dot(a, b, out = None) # a:ndarray数组 # b:bdarray数组 # out:ndarray，可选，用来保存dot()的计算结果 import numpy.matlib import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print(np.dot(a,b)) [[37 40] [85 92]]

上例子计算公式：

[[1*11+2*13,1*12+2*14],[3*11+4*13,3+12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot()函数是两个向量的点积。如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。如果参数是多维数组，它会被展开。

import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) # vdot 将数组展开计算内积 print(np.vdot(a,b)) 130

上述实例计算式：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner()函数返回一维数组的向量内积，对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

import numpy as np print(np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))) # 等价于 1*0+2*1+3*0 2 # 多维数组实例 import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) print('数组a：') print(a) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print('数组b：') print(b) print('内积：') print(np.inner(a,b)) 数组a： [[1 2] [3 4]] 数组b： [[11 12] [13 14]] 内积： [[35 41] [81 95]]

内积计算式：

1*11 + 2*12， 1*13 + 2*14 3*11 + 4*12， 3*13 + 4*14

numpy.matmul()

numpy.matmul()函数返回两个数组的矩阵乘积。虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维度大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。 另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加1来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [[4,1],[2,2]] print(np.matmul(a,b)) [[4 1] [2 2]] # 二维和一维运算 import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [1,2] print(np.matmul(a,b)) print(np.matmul(b,a)) [1 2] [1 2] # 维度大于 2 的数组 import numpy.matlib import numpy as np a = np.arange(8).reshape(2,2,2) b = np.arange(4).reshape(2,2) print(np.matmul(a,b)) [[[ 2 3] [ 6 11]] [[10 19] [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det()函数计算输入矩阵的行列式。 行列式在线性代数中是非常有用的值，它从方阵的对角元素计算。对于对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。 换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) print(np.linalg.det(a)) -2.0000000000000004 import numpy as np b = np.array([[6,1,1],[4,-2,5],[2,8,7]]) print(b) print(np.linalg.det(b)) print(6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)) [[ 6 1 1] [ 4 -2 5] [ 2 8 7]] -306.0 -306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve()函数给出了矩阵形式的线性方程的解 如线性方程：

x + y + z = 6 2y + 5z = -4 2x + 5y - z = 27 # 可以转换为矩阵： [[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]*[x,y,z] = [6,-4,27]

转换为矩阵后就变成了AX = B，的问题，X = A^(-1)B，求逆矩阵的问题。 那先学习:

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv()函数计算矩阵的乘法逆矩阵（inverse matrix）。

import numpy as np x = np.array([[1,2],[3,4]]) y = np.linalg.inv(x) print(x) print(y) print(np.dot(x,y)) [[1 2] [3 4]] [[-2. 1. ] [ 1.5 -0.5]] [[1.0000000e+00 0.0000000e+00] [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

现在再创建一个矩阵A的逆矩阵，继续求解线性方程的解。

import numpy as np a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) print('数组a:') print(a) ainv = np.linalg.inv(a) print('a的逆：') print(ainv) print('矩阵b:') b = np.array([[6],[-4],[27]]) print(b) print('计算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a,b) print(x) # 这就是线性方向x = 5,y = 3,z = -2的解 数组a: [[ 1 1 1] [ 0 2 5] [ 2 5 -1]] a的逆： [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714] [-0.47619048 0.14285714 0.23809524] [ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]] 矩阵b: [[ 6] [-4] [27]] 计算：A^(-1)B： [[ 5.] [ 3.] [-2.]] x = np.dot(ainv,b) print(x) [[ 5.] [ 3.] [-2.]]

学习参考：

菜鸟教程：https://www.runoob.com/numpy/numpy-tutorial.html