百度了一圈没有靠谱点的答案，于是便有了这篇博客。 只写了一些自己觉得有价值的习题。

文章目录

第一章 多项式1.3 整除性与最大公因式习题3习题10 1.5 实系数与复系数多项式习题1习题2.(4)习题10 1.6 整系数与有理系数多项式例1例2习题2习题6习题7习题8 1.8 对称多项式习题3习题6习题8,10习题11 第二章 行列式2.2 $n$阶行列式的定义与性质习题9 2.3 Laplace展开定理习题3习题9 2.5 行列式的计算例9习题1习题2习题3习题4习题5习题6 第三章 矩阵3.2 Binet-Cauchy公式例2习题2习题4习题10习题11 3.3 可逆矩阵习题14 3.4 矩阵的秩与相抵习题2习题153.5 一些例子例5例6 Frobenius不等式例8习题1习题4

第一章 多项式

1.3 整除性与最大公因式

习题3

证明: 当$n=6m+5$时,多项式$x^2+xy+y^2$整除多项式$(x+y{)}^n-x^n-y^n$; 当$n=6m+1$时,多项式$(x^2+xy+y^2{)}^2$整除多项式$(x+y{)}^n-x^n-y^n$.这里$m$是使$n>0$的整数,而$x,y$是实数.

注意到$x^2+x+1$的根$w$为三次单位根,且$w+1$为6次单位根.

用归纳法,对于$6m+5$的情况,只需计算$f(w)$是否为0,对于$6m+1$的情况还需计算$f^{\prime }(w)$.

习题10

设$f(x)$是$2n+1$次多项式,$n$为正整数,$f(x)+1$被$(x-1{)}^n$整除,$f(x)-1$被$(x+1{)}^n$整除.求$f(x)$.

First we have: $$u(x)(x-1{)}^n-1=v(x)(x+1{)}^n+1$$

Because of $((x-1{)}^n,(x+1{)}^n)=1$,there exists $u(x),v(x)$, such that:

$$u(x)(x-1{)}^n-v(x)(x+1{)}^n=2$$

if we find such $u(x),v(x)$,then $(u(x)+t(x)\ast (x+1{)}^n)(x-1{)}^n-1$ could be a valid $f(x)$.

Notice that there exists a $u(x)$, $deg(u(x))<n$,then because: $$u(x)=(1-v(x)(x+1{)}^n)(x-1{)}^{-n}$$ So: $$u^{(i)}(-1)=(\prod _{j=0}^{i-1}(-n-j))(-2{)}^{-n-i}$$

Use Taylor’s expansion: $$u(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{u^{(i)}(-1)}{i!}(x+1{)}^i$$

1.5 实系数与复系数多项式

习题1

尝试构造$n$次单位根.

习题2.(4)

一个小Trick:$x^4-a{x}^2+1=(x^2+1{)}^2-(2+a)x^2=(x^2+\sqrt{2+a}x+1)(x^2-\sqrt{2+a}x+1)$

习题10

证明：实系数多项式$f(x)$对所有实数$x$恒取非负实数值的充分必要条件是,存在实系数多项式$\phi (x),\psi (x)$,使得$f(x)=[\phi (x){]}^2+[\psi (x){]}^2$.

$\begin{array}{rl}f(x)& =g(x)[(x-z_1)...(x-z_t)][(x-\overline{z_1})...(x-\overline{z_t})]\\ & =g(x)(p(x)+iq(x))(p(x)-iq(x))\\ & =(\sqrt{g(x)}p(x){)}^2+(\sqrt{g(x)}q(x){)}^2\end{array}$

1.6 整系数与有理系数多项式

例1

证明分圆多项式在$\mathbb{Z}$上不可约

$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}$,根为$w^1,...,w^{p-1}$,$p$为奇数,又$(x-w^i)(x-w^{p-1})$不是有理系数,故不可约.

例2

设$a_1,...,a_n$是$n$个不同的整数,$n\ge 2$,证明：多项式${\prod }_i(x-a_i)-1$在$\mathbb{Q}$上不可约.

反证.设$f(x)=g(x)h(x)$,则$g(x),h(x)$在$n$个点上取相反数,故$g(x)+h(x)=0\Rightarrow g(x)=-h(x)\Rightarrow f(x)=-g^2(x)$与$f(x)$首项为1矛盾.

习题2

设$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$是整系数多项式,且素数$p$满足:$p\nmid a_0,p\nmid a_1,...,p\nmid a_k,p|a_{k+1},...,p|a_n,p^2\nmid a_n$.证明$f(x)$具有次数$\ge n-k$的整系数不可约因式.

反证.设$f(x)=g(x)h(x)$,$g(x)=\sum_{i=0}^sb_ix^i$,$h(x)=\sum_{i=0}^tc_ix^i$,$p|b_s,p\not|c_t,p\not|b_0,p\not |c_1$,则$\exist m, p \not | b_{s-m}, p|b_{s-m+1},p|_{s-m+2}... \Rightarrow p \not|a_{n-m} \Rightarrow n-m \le k \Rightarrow m \ge n-k$,对$g$进行归纳.

习题6

设整系数多项式$f(x)$在$x$的$4$个不同整数值上取值为$1$,则$f(x)$在$x$的其他整数值上的值不能是$-1$.

证明是显然的.

习题7

证明：设正整数$n\ge 12$,并且$n$次整系数多项式$f(x)$在$x$的$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1$个以上的整数值上取值为$\pm 1$,则$f(x)$在$\mathbb{Q}$上不可约.

根据习题6,取值必然全为$1$或全为$-1$,然后反证,$f=gh$,则$g=-h$或$g=h$,$f=-g^2$或$f=g^2$,分别与取值为正和取值为负矛盾.

习题8

设整系数多项式$a{x}^2+bx+1$在有理数域$\mathbb{Q}$上不可约,并且$\phi (x)={\prod }_i(x-a_i)$,其中$a_1,a_2,...,a_n$是$n$个不同的整数,$n\ge 7$,证明：多项式$f(x)=a[\phi (x){]}^2+b\phi (x)+1$在$\mathbb{Q}$上不可约.

反证.$f(x)=g(x)h(x)$在$n$个点上取1,则$g=h\Rightarrow f=g^2\Rightarrow g$在$n$个点取1$\Rightarrow g=c\phi (x)+1\Rightarrow f(x)=(c\phi (x)+1{)}^2$与$a{x}^2+bx+1$不可约矛盾.

1.8 对称多项式

习题3

设三次方程$x^3+a{x}^2+bx+c$的三个根是某个三角形的内角的正弦.证明：$a(4ab-a^3-8c)=4c^2$

证明：利用海伦公式化简即可.

习题6

设对称多项式$f(x_1,x_2,...,x_n)$满足：$f(x_1+a,x_2+a,...,x_n+a)=f(x_1,x_2,...,x_n)$,$a$ 为任意常数.设$f(x_1,x_2,...,x_n)=g({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n)$.证明：${\sum }_{i=1}^n(n-i+1){\sigma }_{i-1}\frac{\partial g}{\partial {\sigma }_i}=0$

证：首先${\sum }_i\frac{\partial {\sigma }_k}{x_i}=(n-k+1){\sigma }_{k-1}$,由题${\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}=0$

$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}& =\sum _{i=1}^n\frac{\partial g}{\partial {\sigma }_i}\sum _j\frac{\partial {\sigma }_i}{x_j}\\ & =\sum _{i=1}^n(n-i+1){\sigma }_{i-1}\frac{\partial g}{\partial {\sigma }_i}=0\end{array}$

习题8,10

由牛顿多项式确定方程组后套用Cramer法则.

对10可利用归纳：

习题11

若多项式$f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=f(x_2,x_3,...,x_n,x_1)=f(x_3,...,x_n,x_1,x_2)=...$则称$f(x_1,...,x_n)$在未定元$f(x_1,...,x_n)$的循环变换下不变, 证明：$f$在这种条件下可由$g_0,...,g_1$表示,其中$g_j(x_1,...,x_n)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{w}^{ij}$,$w$为$n$次单位根,进一步的,$f$可表示为:

${\sum }_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{a}_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{g}_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}}$

其中$m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}$能被$n$整除,且${\sum }_i{m}_i\le \mathrm{deg}(f)$.

证明：

首先：

$\{\begin{array}{llccccccccc}{g}_0& =& x_0& +& x_1& +& x_2& +& ...& +& x_n\\ g_1& =& x_0& +& x_{1}w& +& x_2{w}^2& +& ...& +& x_n{w}^n\\ \cdots & & & & & & & & & & \\ g_{n-1}& =& x_0& +& x_1{w}^{n-1}& +& x_2{w}^{2(n-1)}& +& ...& +& x_n{w}^{n(n-1)}\end{array}$

列出其增广矩阵：

$$\det (\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ w& w^2& ...& w^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w^{n-1}& w^{2(n-1)}& \cdots & w^{n(n-1)}\end{array}\right))=\prod _{i<j}(w^i-w^j)$$

Vandermonde矩阵行列式不为0,则存在唯一解$x_i=\sum a_{x_i}{g}_j$,即存在唯一表示$f={\sum }_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{a}_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{g}_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}}$

又：

$f(x_1,x_2,...,x_n)=h(g_0,g_1,...,g_{n-1})=h({\sum }_i{x}_i,{\sum }_i{x}_i{w}^i,...,{\sum }_i{x}_i{w}^{i(n-1)})$

$f(x_n,x_1,...,x_{n-1})=h(g_0,w{g}_1,...,w^{n-1}{g}_{n-1})$

$\begin{array}{rl}f& =\sum _{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{a}_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{g}_0^{m_0}...g_{n-1}^{m_{n-1}}\\ & =\sum _{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{a}_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}(w{g}_0{)}^{m_0}...(w{g}_{n-1}{)}^{m_{n-1}}\\ & =\sum _{m_0,m_1,...,m_{n-1}}{w}^{m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}}{a}_{m_0,m_1,...,m_{n-1}}(w{g}_0{)}^{m_0}...(w{g}_{n-1}{)}^{m_{n-1}}\end{array}$

对比系数可知 $n|m_1+2m_2+...+(n-1)m_{n-1}$

第二章 行列式

2.2 $n$阶行列式的定义与性质

习题9

求下列行列式：

(1)

$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right|$

可直接进行行列变换。 也有循环矩阵的一般求解形式：https://wenku.baidu.com/view/bf28cb59f01dc281e53af0ff.html

(4)

$\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ -b& a& d& -c\\ -c& -d& a& b\\ -d& c& -b& a\end{array}\right|$

注意两行点乘值为0，然后用$|A{A}^T|=|A{|}^2$计算。

2.3 Laplace展开定理

习题3

记：

$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1{x}_1& b_1{x}_1& a_1{x}_2& b_1{x}_2& a_1{x}_3& b_1{x}_3\\ a_2{x}_1& b_2{x}_1& a_2{x}_2& b_2{x}_2& a_3{x}_3& b_3{x}_3\\ a_1{y}_1& b_1{y}_1& a_1{y}_2& b_1{y}_2& a_1{y}_3& b_1{y}_3\\ a_2{y}_1& b_2{y}_1& a_2{y}_2& b_2{y}_2& a_2{y}_3& b_2{y}_3\\ a_1{z}_1& b_1{z}_1& a_1{z}_2& b_1{z}_2& a_1{z}_3& b_1{z}_3\\ a_2{z}_1& b_2{z}_1& a_2{z}_2& b_2{z}_2& a_2{z}_3& b_2{z}_3\end{array}\right|$

$\delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|$

$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ z_1& z_2& z_3\end{array}\right|$

证明:$D={\delta }^3{\Delta }^2$

构造两个矩阵，乘积为所求矩阵。 且行列式分别为${\delta }^3$,${\Delta }^2$。

习题9

设$b_{i,j}=(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots +a_{i,n})-a_{i,j},1\le i,j\le n$。证明：$|b_{i,j}{|}_n=(-1{)}^{n-1}(n-1)|a_{i,j}{|}_n$

这种每行有相同的元素的题可以考虑加边。

2.5 行列式的计算

例9

求$n$阶行列式：

${\Delta }_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ & ...& & \\ x_1^{k-1}& x_2^{k-1}& \cdots & x_n^{k-1}\\ x_1^{k+1}& x_2^{k+1}& \cdots & x_n^{k+1}\\ & ...& & \end{array}\right|$

补齐$x_i^k$行，最后一列新增未定元$x$，然后答案为Vandermonde行列式中$x^k$的系数。

习题1

(5)

求：

$\Delta =\left|\begin{array}{cccccc}x& a& a& \cdots & a& a\\ -a& x& a& \cdots & a& a\\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots & & & \\ -a& -a& -a& \cdots & x& a\\ -a& -a& -a& \cdots & -a& x\end{array}\right|$

类似反对称行列式，把最后一列全提个$a$出来得到一个递推式，第一列全提个$-a$出来得到一个递推式，然后解方程即可。

(10)

求$|I_m+A_{m,2}\ast B_{2,m}|$，其中$$A_{m,2}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ a_2& 1\\ & \cdots \\ a_m& 1\end{array}\right|,B_{2,m}=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_m\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right|$$。

用打洞原理，$|I_m+A_{m,n}\ast B_{n,m}|=|I_n+A_{m,n}^T{B}_{n,m}^T|$，然后就只有四个数了。

(12)

$\left|\begin{array}{cccc}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k+1}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k+n-1}\right)\\ \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k+1}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k+n-1}\right)\\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots & \\ \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{k}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{k+1}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{k+n-1}\right)\end{array}\right|$

每行提一个$\frac{1}{k!}$，每列提一个$m$，然后变成一个子问题，最后要求这个矩阵($m_i$ = $m_1+i-1$)：

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1}{2}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1}{n-1}\right)\\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_2}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_2}{2}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_2}{n-1}\right)\\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots & & \\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_n}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_n}{2}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_n}{n-1}\right)\end{array}\right|$

上面这个矩阵每列提一个$\frac{1}{k!}$变成下降幂，然后下降幂通过列变换变成Vandermonde矩阵。

(14)

$\left|\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)& 0& \cdots & 0& x\\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)& \cdots & 0& x^2\\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots & & & \\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{n-2}\right)& x^{n-2}\\ 1& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)& \cdots & \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-2}\right)& x^{n-1}\end{array}\right|$

$f(x+1)=x^{n-1}\Rightarrow f(x)=(x-1{)}^{n-1}$

(16)

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \cos {\theta }_1& \cos 2{\theta }_1& \cdots & \cos (n-1){\theta }_1\\ 1& \cos {\theta }_2& \cos 2{\theta }_2& \cdots & \cos (n-1){\theta }_2\\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots & & \\ 1& \cos {\theta }_n& \cos 2{\theta }_n& \cdots & \cos (n-1){\theta }_n\end{array}\right|$

方法1：$\cos n\theta$是个关于$\cos \theta$的多项式，然后用上题方法。

方法2：用复数表示$\cos \theta$，然后随便搞搞。。

方法3：和差化积。

(17)

$\left|\begin{array}{cccccc}x& 1& & & & \\ -n& x-2& 2& & & \\ & -(n-1)& x-4& \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & & -1& x-2n\end{array}\right|$

注意到每列和一样，且很稀疏，对每列求个前缀和然后对行差分，按最后一行展开归纳。

习题2

证明：${\prod }_{1\le i<j\le n}(a_i-a_j)$能被$1^{n-1}{2}^{n-2}...(n-2{)}^2(n-1)$整除。

写成Vandermonde行列式，然后加成排列组合的形式，在每行除个阶乘得到上面某道题的形式。

习题3

证明偶阶斜对称方阵的行列式是个完全平方。

用1,2行消去下面行的第1,2列，然后得到的矩阵还是偶阶斜对称矩阵。 然后归纳。

习题4

设$\forall i,a_{i,i}>0,\forall i\ne k,a_{i,k}<0,{\sum }_j{a}_{i,j}>0$，证明$|a_{i,j}{|}_{n\times n}>0$.

打洞后归纳。

习题5

证明：主角占优矩阵的行列式不为0.

如果等于0，则以$a_{i,j}$为系数的齐次线性方程组有非0解。可推出矛盾。

习题6

把$n$阶行列式$|\lambda I-A|$展成$\lambda$的多项式，并用$\det A$的子式表达它的关于$\lambda$的各次幂的系数，其中$A=(a_{i,j}{)}_{n\ast n}$

$f(\lambda )$求$i$次导后带入0可得第$i$项的答案，然后对矩阵求导即可。

第三章 矩阵

3.2 Binet-Cauchy公式

例2

设$A=(a_{i,j})$为$n$阶方阵，其中$a_{i,j}=(i,j)$，求$|A|$。

利用$n={\sum }_{d|n}\phi (d)$，构造$B=(b_{i,j}),b_{i,j}=[i|j]$，$C=(c_{i,j}),c_{i,j}=[j|i]\ast \phi (j)$，则$|B|=1,|C|={\prod }_{i=1}^n\phi (i)$，由$A=BC$知$|A|=|C|$。

习题2

证明$\forall A,B\in M_{n\ast n}(F),AB-BA\ne I$。

证：用$tr$函数的可交换性，$tr(AB)-tr(BA)=0\ne tr(I)$。

习题4

(3)带入循环行列式公式求值即可。

(4)计算b-循环行列式的值。 详见https://baike.baidu.com/item/b%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/22777133?fr=aladdin

习题10

考虑多项式的每项系数即可。

习题11

考虑Binet-Cauchy公式：

$|A{|}^2\stackrel{Laplace展开}{}=[\sum B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,...,k}{i_1,i_2,...,i_k}\right)C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,...,n-k}{i_{k+1},i_{k+2},...,i_n}\right){]}^2\le [\sum B{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,...,k}{i_1,i_2,...,i_k}\right)}^2][\sum C{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,...,n-k}{i_{k+1},i_{k+2},...,i_n}\right)}^2]\stackrel{Binet-Cauchy定理}{}|B||C|$

3.3 可逆矩阵

##习题1

(3) $w$是$n$ 次单位根，求$A^{-1}$，其中$a_{i,j}=w^{i(j-1)}$。

逆矩阵为$B,b_{i,j}=w^{-i(j-1)}$。FFT的逆变换。

(4)这是一个比较少元素的矩阵，可列方程组暴力求解。

习题14

设$A\in R^{2n\times 2n}$，设KaTeX parse error: Undefined control sequence: \pmatrix at position 3: M=\̲p̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{0 & I_n\\-I_n&…，若$AM{A}^T=M$，求证$|A|=1$。

证:

$|A{|}^2|M|=|M|\Rightarrow |A{|}^2=1$，往证$|A|=1$。

方法1：

$(AM+MA)A^T=M(I+A{A}^T)$

注意到KaTeX parse error: Undefined control sequence: \pmatrix at position 9: AM+MA = \̲p̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{B & C \\ -C & …，在复数域上作变换有$\left|\begin{array}{cc}B& C\\ -C& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}B+iC& C\\ -C+iB& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}B+iC& C\\ 0& B-iC\end{array}\right|=|B+iC||B-iC|$

在实数意义下$B+iC$与$B-iC$共轭，故行列式共轭，知$|B+iC||B-iC|=|B+iC{|}^2>0$，又$I+A{A}^T$正定，$|M|=1$，知$|A^T|>0$

方法2(微小摄动法):

设$A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{DE}\right)$，则$AM{A}^T=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{B{C}^T-C{B}^{T}B{E}^T-C{D}^T}{D{C}^T-E{B}^{T}D{E}^T-E{D}^T}\right)$$\Rightarrow B{C}^T-C{B}^T=0,D{E}^T-E{D}^T=0,B{E}^T-C{D}^T=I,D{C}^T-E{B}^T=I$。

若$B$可逆，则$\det \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{DE}\right)=\left|\begin{array}{cc}B& C\\ 0& E-D{B}^{-1}C\end{array}\right|=\det (B{E}^T-B{C}^T(B^{-1}{)}^T{D}^T)=\det (B{E}^T-C{D}^T)=1$

否则，希望找到$X\ne 0$,满足$X{C}^T=C{X}^T$，从而$(B+tX)C^T-C(B+tX{)}^T=0$。

那么$X{Q}^T{I}_t{P}^T=P{I}_{t}Q{X}^T\Rightarrow P^{-1}X{Q}^T{I}_t=I_{t}Q{X}^T(P^{-1}{)}^T$，不难发现只要$P^{-1}X{Q}^T$满足$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{X_1{X}_2}{0X_3}\right)$即可，其中$X_1^T=X_1$，又因为必然存在任意小的$ϵ$，满足$B^{\prime }=B+ϵX$可逆，则：

$\left|\begin{array}{cc}{B}^{\prime }& C\\ D& E\end{array}\right|=\det (B^{\prime }{E}^T-C{D}^T)=\det (I+ϵX{E}^T)$，在上式中令$ϵ$趋于0，即得$\det (A)>0$。

3.4 矩阵的秩与相抵

习题2

(3) 计算Cauchy行列式的逆矩阵。

用行列变换的方法过于繁琐，因此介绍求Cauchy行列式的方法。

https://www.cnblogs.com/xixifeng/p/3932238.html

习题15

运用辗转相除法代替Gauss消元即可。

3.5 一些例子

例5

证明$n$阶幂等方阵$A$（即$A^2=A$）的秩等于它的迹。

证：

$A^2=A\Rightarrow I_{r}QP{I}_r=I_r\Rightarrow QP=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{I_{r}B}{CD}\right)$，故$tr(P{I}_{r}Q)=tr(QP{I}_r)=r=r(A)$。

例6 Frobenius不等式

设$A\in F^{m\times n},B\in F^{n\times p},C\in F^{p\times q}$，证明：$r(ABC)+r(B)\ge r(AB)+r(BC)$

证：

还是用打洞的思想。

$\left(\begin{array}{cc}ABC& 0\\ 0& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}ABC& 0\\ -BC& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}0& AB\\ -BC& B\end{array}\right)$

例8

设$A\in F^{m\times n},B\in F^{p\times q},C\in F^{m\times q},X\in F^{n\times q},Y\in F^{m\times p}$，证明：

$AX-YB=C有解\iff r(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array})=r(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array})$

思路：

$P$($\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}$)Q通过简单的行列变换可变为$P$($\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}$)Q，然后构造出一组解。

习题1

证明：设$A$是$n$阶方阵，如果存在正整数$k$，使得$r(A^k)=r(A^{k+1})$，则$r(A^k)=r(A^{k+t}),t\in \mathbb{N}$

证：

$r(A{A}^{k}A)+r(A^k)\ge 2r(A^{k+1})\Rightarrow A^{k+2}=A^{k+1}$

习题4

设$A,B$为$n$阶方阵，$AB=BA=0$，且$r(A^2)=r(A)$。证明$r(A+B)=r(A)+r(B)$。

证：

打洞就完事了。 不过首先有一个引理，存在$C,s.t.A^{2}C=A$，很显然，这里就不证了。

$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}A& A+B\\ 0& B\end{array}\right)\stackrel{c_1-c_2\ast AC}{\to }\left(\begin{array}{cc}0& A+B\\ 0& B\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}0& A+B\\ 0& -A\end{array}\right)\stackrel{r_2+r_1\ast AC}{\to }\left(\begin{array}{cc}0& A+B\\ 0& 0\end{array}\right)$