数列极限的定义就是著名的 ϵ − N \epsilon-N ϵ−N语言。在微积分刚被发明的时候，没有对极限给过严格的定义，导致了第二次数学危机。在柯西(1789-1857)和维尔斯特拉斯(1815-1897)的努力下，才基本摆脱了这次危机。 数列极限的定义： 设 x n {x_n} xn是一个数列，如果对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在正整数 N ∈ N + N \in \mathbb{N^+} N∈N+，对于任意的 n > N n > N n>N，都有 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n -a| < \epsilon ∣xn−a∣<ϵ，记做 lim n → ∞ a n = a \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a n→∞liman=a 称 x n x_n xn收敛于a，如果不存在极限a则称数列 x n x_n xn发散
这个定义告诉我们这几件事。 (1). ϵ \epsilon ϵ具备任意性 (2). ϵ \epsilon ϵ在给定的情况下， N N N也就给定了，可以说 N N N随着 ϵ \epsilon ϵ的给定而给定 (3). ∣ x n − a ∣ < ϵ ⇒ a − ϵ < x n < a + ϵ |x_n -a| < \epsilon \Rightarrow a-\epsilon<x_n <a+\epsilon ∣xn−a∣<ϵ⇒a−ϵ<xn<a+ϵ，以 ϵ \epsilon ϵ为半径的开区间 ( a − ϵ , a + ϵ ) (a-\epsilon,a+\epsilon) (a−ϵ,a+ϵ)称为a的领域 (4)."充分大"等价于存在正整数N，对于任意的 n > N n>N n>N，以后碰到“充分大”完全可以等价翻译出来 (5).对于数列极限而言前N项无论如何变化都不会影响数列极限最终的结果
极限的证明在数学分析中是一个相当重要的问题。证明的方式主要有三类： 1.等价代换法： ∣ x n − a ∣ < ϵ ⟶ 解 不 等 式 得 到 n > N ( ϵ ) ， 令 N = [ N ( ϵ ) ] 或 者 N = [ N ( ϵ ) ] + 1 即 可 |x_n -a| < \epsilon \stackrel{解不等式}\longrightarrow 得到n > N(\epsilon)，令N=[N(\epsilon)]或者N=[N(\epsilon)]+1即可 ∣xn−a∣<ϵ⟶解不等式得到n>N(ϵ)，令N=[N(ϵ)]或者N=[N(ϵ)]+1即可 2.放大法 ∣ x n − a ∣ < ϵ ， 如 果 这 个 不 等 式 不 好 解 ， 可 以 尝 试 放 大 一 下 。 ∣ x n − a ∣ ≤ H ( n ) ， 解 H ( n ) < ϵ ， n > N ( ϵ ) 。 这 里 需 要 注 意 的 是 ， 放 大 后 的 不 等 式 需 要 满 足 0 < H ( n ) < ϵ 。 原 因 是 ϵ 是 任 意 给 定 的 大 于 0 ， 必 然 有 上 面 的 不 等 式 。 |x_n -a| < \epsilon，如果这个不等式不好解，可以尝试放大一下。|x_n -a| \le H(n)，解H(n) < \epsilon，n > N(\epsilon)。这里需要注意的是，放大后的不等式需要满足0<H(n)<\epsilon。原因是\epsilon是任意给定的大于0，必然有上面的不等式。 ∣xn−a∣<ϵ，如果这个不等式不好解，可以尝试放大一下。∣xn−a∣≤H(n)，解H(n)<ϵ，n>N(ϵ)。这里需要注意的是，放大后的不等式需要满足0<H(n)<ϵ。原因是ϵ是任意给定的大于0，必然有上面的不等式。 3.分步法 如 果 ∣ x n − a ∣ < ϵ 这 个 不 等 式 不 好 解 ， 可 以 放 大 一 些 。 ∣ x n − a ∣ ≤ H ( n ) 。 但 是 ， 这 个 不 等 式 ， 只 有 n 充 分 大 的 时 候 才 成 立 ， 即 存 在 正 整 数 N 1 ， 使 得 ∣ x n − a ∣ ≤ H ( n ) 。 通 过 H ( n ) < ϵ ， 得 到 n > N ( ϵ ) ， 即 N = m a x { N ( ϵ ) , N 1 } 的 时 候 ， ∣ x n − a ∣ < ϵ 成 立 如果|x_n -a| < \epsilon这个不等式不好解，可以放大一些。|x_n -a| \le H(n)。但是，这个不等式，只有n充分大的时候才成立，即存在正整数N_1，使得|x_n -a| \le H(n)。通过H(n) < \epsilon， 得到n > N(\epsilon)，即N = max\{ N(\epsilon), N_1\}的时候，|x_n -a| < \epsilon成立 如果∣xn−a∣<ϵ这个不等式不好解，可以放大一些。∣xn−a∣≤H(n)。但是，这个不等式，只有n充分大的时候才成立，即存在正整数N1，使得∣xn−a∣≤H(n)。通过H(n)<ϵ，得到n>N(ϵ)，即N=max{N(ϵ),N1}的时候，∣xn−a∣<ϵ成立 补充 无穷小量：无穷小量是以0为极限的数列。 定义：对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在正整数 N ∈ N + N \in \mathbb{N^+} N∈N+，对于任意的 n > N n > N n>N，都有 ∣ x n ∣ < ϵ |x_n| < \epsilon ∣xn∣<ϵ，则称 x n x_n xn为无穷小量。
1.证明数列 { n n + 3 } 的 极 限 是 1 \{\frac{n}{n+3}\}的极限是1 {n+3n}的极限是1 证明的关键在于找到 N N N,首先根据 ϵ − N \epsilon-N ϵ−N语言，存在正整数 N N N对于任意的 n > N n>N n>N得到下面的不等式： ∣ n n + 3 − 1 ∣ < ϵ |\frac{n}{n+3}-1| < \epsilon ∣n+3n−1∣<ϵ 解出该不等式，立刻得到 n > 3 ϵ − 3 n > \frac{3}{\epsilon}-3 n>ϵ3−3为了取整数N，所以取 N = [ 3 ϵ ] + 1 N=[\frac{3}{\epsilon}]+1 N=[ϵ3]+1。
讨论：这里为啥可以取 N = [ 3 ϵ ] + 1 N=[\frac{3}{\epsilon}]+1 N=[ϵ3]+1？首先，由 n > 3 ϵ − 3 n > \frac{3}{\epsilon}-3 n>ϵ3−3，知道n取比 3 ϵ − 3 \frac{3}{\epsilon}-3 ϵ3−3大的都可以，而 3 ϵ + 1 \frac{3}{\epsilon}+1 ϵ3+1肯定是大于 3 ϵ − 3 \frac{3}{\epsilon}-3 ϵ3−3。虽然从计算上看 3 ϵ − 3 \frac{3}{\epsilon}-3 ϵ3−3是要更加精确，但是找N的原则是找到即可，不需要精确。而且，这里的 3 ϵ − 3 \frac{3}{\epsilon}-3 ϵ3−3不能保证它是一个整数。所以N取 [ 3 ϵ ] + 1 [\frac{3}{\epsilon}]+1 [ϵ3]+1可以保证定义的要求。
2.证明数列 q n {q^n} qn( 0 < ∣ q ∣ < 1 0 < |q| < 1 0<∣q∣<1)是无穷小量 证明：对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在正整数 N N N，有这个不等式： ∣ q n ∣ < ϵ |q^n|<\epsilon ∣qn∣<ϵ去绝对值得到 ∣ q ∣ n < ϵ |q|^n<\epsilon ∣q∣n<ϵ，再两边取对数，得到 n lg ∣ q ∣ < lg ϵ n\lg |q| < \lg \epsilon nlg∣q∣<lgϵ ⇓ \Downarrow ⇓ n > lg ϵ lg ∣ q ∣ n > \frac{\lg \epsilon}{\lg |q|} n>lg∣q∣lgϵ因为 0 < ∣ q ∣ < 1 0<|q|<1 0<∣q∣<1，那么 lg ∣ q ∣ < 0 \lg |q| < 0 lg∣q∣<0，所以小于变成大于。那么N取什么值呢？注意
