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写作时间：2019-10-31
如果有公式乱码，参见我的个人博客从傅立叶级数到傅立叶变化
写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。
设周期为 T T T的周期函数 f ( x ) f(x) f(x)的傅立叶级数为
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos 2 π n x T + b n sin 2 π n x T ) (1) f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2\pi n x}{T}+b_{n} \sin \frac{2\pi n x}{T}\right) \tag{1} f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosT2πnx+bnsinT2πnx)(1)
其中，系数 a n a_n an和 b n b_n bn分别为：
a n = 2 T ∫ T 2 T 2 f ( x ) cos 2 π n x T d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin 2 π n x T d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) } (2) \left.\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=0,1,2, \cdots)} \\ {b_{n}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right\} \tag{2} an=T2∫2T2Tf(x)cosT2πnxdxbn=T2∫−2T2Tf(x)sinT2πnxdx(n=0,1,2,⋯)(n=1,2,3,⋯)⎭⎬⎫(2)
利用欧拉公式 cos t = e t i + e − t i 2 , sin t = e t i − e − t i 2 i \cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t i}}{2}, \quad \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t i}-\mathrm{e}^{-t i}}{2 \mathrm{i}} cost=2eti+e−ti,sint=2ieti−e−ti
可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e 2 π n x T i (3) f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \tag{3} f(x)=n=−∞∑∞cneT2πnxi(3)
系数 c n c_n cn为
c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − 2 π n x T i d x ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) (4) c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \tag{4} cn=T1∫−2T2Tf(x)e−T2πnxidx(n=0,±1,±2,⋯)(4)
傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。
傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。
傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。
图片来源：Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform
下面我们看一下，当周期 T T T趋于 ∞ \infty ∞的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。
令 1 T = Δ ω \frac{1}{T} = \Delta \omega T1=Δω，则
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当 T → ∞ T \to \infty T→∞时， Δ ω → 0 \Delta \omega \to 0 Δω→0， Δ ω → d ω \Delta \omega \to \mathrm{d}\omega Δω→dω ， d ω \mathrm{d}\omega dω和 n d ω n \mathrm{d}\omega ndω都成为连续的变量，记为 ω \omega ω。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \lim_{T…
对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π ω x i d x (5) F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi\omega x \mathrm{i}} \mathrm{d}x \tag{5} F(ω)=∫−∞∞f(x)e−2πωxidx(5)
而相应地傅立叶逆变换可以表示为
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e 2 π ω x i d ω (6) f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{2\pi\omega x \mathrm{i}}\mathrm{d}\omega \tag{6} f(x)=∫−∞∞F(ω)e2πωxidω(6)
