证明：当i=1时，第1层只有一个根结点，而 2i-1=20 =1，结论显然成立。 假定i=k（1≤k＜i）时结论成立，即第k层上至多有2k-1个结点， 则 i=k+1时，因为第k+1层上的结点是第k层上结点的孩子，而二叉树中每个结点最多有2个孩子，故在第k+1层上最大结点个数为第k层上的最大结点个数的二倍，即2×2k-1＝2k。结论成立。
证明：由性质1可知，深度为k的二叉树中结点个数最多 = 2k-1； 每一层至少要有一个结点，因此深度为k的二叉树， 至少有k个结点。 深度为k且具有2k-1个结点的二叉树一定是满二叉树， 深度为k且具有k个结点的二叉树不一定是斜树。
证明: 设n为二叉树的结点总数，n1为二叉树中度为1的结点数，则有： n＝n0＋n1＋n2 在二叉树中，除了根结点外，其余结点都有唯一的一个分枝进入，由于这些分枝是由度为1和度为2的结点射出的，一个度为1的结点射出一个分枝，一个度为2的结点射出两个分枝，所以有： n＝n1＋2n2＋1 因此可以得到：n0＝n2＋1 。 小问题：在有n个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？ 因为在满二叉树中没有度为1的结点，只有度为0的叶子结点和度为2的分支结点，所以， n＝ n0 + n2 n0＝n2 + 1 即叶子结点n0＝（n + 1）/2
（1）如果i＞1， 则结点i的双亲结点的序号为 i/2；如果i＝1， 则结点i是根结点，无双亲结点。 (2)如果2i≤n， 则结点i的左孩子的序号为2i； 如果2i＞n，则结点i无左孩子。 (3)如果2i＋1≤n， 则结点i的右孩子的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则结点 i无右孩子。
对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则 结点i的双亲结点为 i/2； 结点i的左孩子为2i； 结点i的右孩子为2i＋1。
