1.复数：先介绍了复数的各种基本操作，例如相加相减相乘相除，结合律，分配率。
单位元，从某种程度上可以理解为0，加法逆就是负数，乘法逆就是倒数。 2.向量空间：是一个有长度（非负）的组，n也是其长度。
3.组与集合不同，组类似于离散数学上的有序对，考虑其元素顺序，而集合不用考虑元素顺序，和是否重复。
4.向量空间内的乘法为标量乘法，即一个数乘以一个向量。（这个数要属于整个空间）
5.向量空间：带有加法和乘法的集合V。（含有加法单位元，加法逆，乘法逆等性质）
6.向量空间是一个抽象对象，其中元素可能是组，函数或者稀奇古怪的对象。
7.向量空间有唯一的加法单位元，加法逆，乘法逆，0向量。（0v=0，a0=0）
8.向量空间的子集称为子空间。
9.子空间也需要有：加法单位元，对加法封闭，对乘法封闭。
10.｛0｝是最小的子空间，V为最大的子空间。
11.和：就是V的一些子空间相加。（子空间的并不一定还是子空间。）
12. U 1 U_1 U1+…+ U n U_n Un是V中包含 U 1 U_1 U1,…, U n U_n Un的最小的子空间。
13.直和：V中的任意一个元素都可以唯一的用 u 1 u_1 u1+…+ u n u_n un表示，则此情况称为直和。 （ u 1 u_1 u1，…， u n u_n un为 U 1 U_1 U1,…, U n U_n Un中的元素）符号为：⊕ 14.确定一组子空间能否作为直和时，仅需判断0是否可以唯一表达。（即每个 u i u_i ui都为0，再无其他情况）
15.对于判断两个子空间是否能直和时，仅需判断V=U+W，并且U ∩ \cap ∩W ={0}.
第二章需要先搞懂一些名词意思，然后再记住定理即可（有兴趣的可以自己推导）
1.①线性组合： a 1 v 1 + . . . + a m v m a_1v_1+...+a_mv_m a1v1+...+amvm
②线性相关的话就是存在 a 1 . . . a m a_1...a_m a1...am不全为0，使得等式等于0.
③线性无关的话就是全为0，使得等式为0。
④张成：( v 1 . . . v m v_1...v_m v1...vm)的所有线性组合构成的集合，称为( v 1 . . . v m v_1...v_m v1...vm)的张成，记为：span( v 1 . . . v m v_1...v_m v1...vm)
2.V中任意一组向量的张成就是V的子空间。
3.V中一组向量的张成是包含这组向量的最小子空间。
4.如果从一个线性无关的向量组中取出一些向量，那么剩下的一些向量组还是线性无关。
5.有一个线性相关的向量组，其中第一个不为0向量，那么其中必有一个向量包含于前面诸向量的张成，进一步我们可以去掉这个向量，而不改变原来这组向量的张成。
6.线性无关先向量组的长度小于等于张成向量组的长度。
7.基：V中的一个向量组既是线性无关组，又可以张成V，则称之为V的基。（基的长度记为维数，用dim表示）
8.V中的向量组是V的基当且仅当每个v ∈ \in ∈V,都能唯一写成如下形式v= a 1 v 1 + . . . + a n v n a_1v_1+...+a_nv_n a1v1+...+anvn
9.在向量空间中，每个张成组都可以简化成一个基。
10.在向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成一个基。
11.设V是有限维的，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W，是的V=U⊕W
12.有限维空间的任意两个基的长度都相等。
13.若V是有限维的，并且U是V的子空间，则dim(U)<=dim(V).
14.若v为有限维的，则V中的每个长度为dimV的张量，或者成都为dimV的线性无关组，都是V的基。
15.如果 U 1 , U 2 U_1,U_2 U1,U2是V的两个子集，则dim（ U 1 + U 2 U_1+U_2 U1+U2）=dim( U 1 U_1 U1)+dim( U 2 U_2 U2)-dim( U 1 ⋂ U 2 U_1 \bigcap U_2 U1⋂U2)…该式子与概率论述对于二维连续概率的公式有些像。
16.V是有限维的，并且(U_1,…,U_m)是V的子空间使得V=U_1+…+U_m，并且dim(V)=dim( U 1 U_1 U1)+…+dim( U m U_m Um),则V= U 1 U_1 U1⊕…⊕ U m U_m Um）
在没有明确说明下，T都是V到W的线性映射 1.这一章需要搞懂许多线性变换，从V到W的线性变换记为函数T：V→W
2.线性变换对加法和乘法存在映射：T(u+v)=T(u)+T(v) , T(av)=aT(u)
3.书上举得线性映射的例子：零，恒等映射，微分，积分， x 2 x^2 x2乘，后项移位，从 F n F^n Fn到 F m F^m Fm.
4.零空间：V中被T映射成0的那些向量组成的子集，称为T的零空间。记为 ：nullT
5.若T是V到W的线性映射，则nullT是V的子空间。
6.单的：当u,v ∈ \in ∈V，Tu=Tv时，必有u=v
7.若T是V到W的线性映射，则T是单的，当且仅当 null T=｛0｝
8.若T是V到W的线性映射，由W中形如Tv的向量所组成的子集，称为T的值域。记为：rangeT。（它是W的子空间）
9.满的：即 rangeT = W
10.如果V是有限维的空间，切存在T，那么:
dim V = dim null T + dim range T (有限维空间上的线性映射的零空间的维数加上值域的维数等于定义域的维数)
11.推论：①如果V和W都是有限维的，并且dim V > dim W,那么T一定不是单的 ②如果V和W都是有限维的，并且dim V < dim W,那么T一定不是满的 推论中的推论：①当变量多于方程时，齐次线性方程组必有非零解(线性相关)。 ②当方程多余变量时，必有一组常数使得非齐次线性方程组无解。
12.将T写为矩阵：行写W的基，列写V的基(求坐标变换公式，以后再说)
13.矩阵相加，标量乘矩阵，矩阵相乘：（仅仅是举例） M(T+S)=M(T)+M(S) , M(cT)=cM(T) , M(TS)=M(T)M(S)
14.可逆性：即存在逆矩阵，ST=恒等变换，则称S为T的逆矩阵。
15.一个线性映射是可逆的，当切仅当它既是单的，又是满的。
16.如果存在一个向量空间到另一个向量空间的可逆线性映射，则成这两个向量空间同构
17.两个有限维向量空间同构，当且仅当他们的维数相等。
18.一个向量空间到其自身的线性映射称为算子。
19.T属于在算子的条件下，这三个等价： T是可逆的，T是单的，T是满的。
20.如果V和M是有限维的，那么V到W的所有线性映射组成的集合Z也是有限维的，且：dim Z = (dim V )(din W)
看本章的时候可以带着之前已经学过的多项式知识来看。
多项式：P(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + . . . + a m z m a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_mz^m a0+a1z+a2z2+...+amzm(当 a m a_m am!=0时,此时程P为m次多项式)
1.存在 λ \lambda λ使得P(λ) = 0 ,则称λ为多项式的根。
2.若λ为多项式的根，那么存在P(z) = (z-λ) q(z)，P为m次多项式，q为m-1次多项式。
3.若P时m次多项式，则最多存在m个互不相同的根。当 P 和 P’ 没有公共根时，P有m个根。
4.若果一个多项式恒等于0，那么它的系数都为0。即多项式的系数是线性无关的。
5.对于实数来说：q = sp +r，此时r<p. 推论：对于多项式来说：Q = sP + r，并且deg r < dep p.(deg代表多项式的次数)
6.每个不是常数的复系数多项式都有根
7.如果P是非常熟多项式，那么p可以分解为 P(z) = c( z − λ 1 z-λ_1 z−λ1)…( z − λ m z-λ_m z−λm)
8.共轭负数具有可加性，可乘性。
9.p是实系数多项式，如果λ是p的根，那么λ的共轭复数也是p的根（此时两者可能相等）
未完待续。。。 感觉看着太难理解了，此书先放一段时间，先读一下《程序员的数学》这一系列三本书。 程序员的数学(1)
