磁场的不均匀性引起的漂移

如果磁场具有横向（垂直于磁场方向）的梯度或者曲率，则粒子回旋运动的回旋半径会不一样，从而产生垂直于磁场的漂移。

梯度漂移

设磁场沿$z$方向，梯度$\nabla |B|$沿$x$方向。粒子在该磁场中运动，在强磁场区其瞬时回旋半径减小，在弱磁场区，其瞬时回旋半径增加。则粒子会产生$y$方向的位移。若在粒子回旋轨道内，磁场的变化很小，则在$x$方向，粒子是周期运动的，这意味着在一个周期内，$v\times B$的$x$分量的积分是0，即 $$\oint F_{x}dt=q\oint v_{y}Bzdt=0$$

在导向中心处，对磁场做Taylor展开，只保留一阶项，磁场可以写为 $$B_z(x)=B_z(x_0)+\frac{\partial B_z}{\partial x}(x-x_0)+\cdots$$

将其代入方程中，可得 $$B_z(x_0)\oint v_{y}dt+\frac{\partial B_z}{\partial x}\oint v_y(x-x_0)dt=0$$

上式第一项积分得到的是$\Delta y$，在一个回旋周期内$y$方向的位移。第二项积分得到的是近圆轨道区域面积的负值（负值是因为回旋方向与磁场方向相反），即 $$\oint v_y(x-x_0)dt=\oint (x-x_0)dy=-\frac{q}{|q|}\pi {\rho }_c^2$$

方程化为 $$B_z\Delta y-\frac{\partial B_z}{\partial x}\left(\frac{q}{|q|}\pi {\rho }_c^2\right)=0$$

则梯度漂移速度$v_G$可以写成 $$v_G=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\frac{1}{B_z}\frac{\partial B_z}{\partial x}\left(\frac{q}{|q|}\pi {\rho }_c^2\right)$$ 令 $$\Delta t=2\pi /{\omega }_c$$

$${\omega }_{\perp }=(m/2){\omega }_c^2{\rho }_c^2$$ 其中${\omega }_c$为粒子回旋运动的频率。${\omega }_{\perp }$为垂直于磁场方向的动能，即${\omega }_{\perp }=(m/2)v_{\perp }^2$，则$v_G$可以简化为 $$v_G=\frac{{\omega }_{\perp }}{q{B}_z}\left[\frac{1}{B_z}\frac{\partial B_z}{\partial x}\right]$$

将其推广为矢量形式 $$v_G=\frac{{\omega }_{\perp }}{q|B|}\left[\frac{B\times \nabla |B|}{|B{|}^2}\right]$$

曲率漂移

若磁场存在曲率，粒子在其中运动时，会受到离心力（centrifugal force）的作用 $$F_C=\frac{m{v}_{\parallel }^2}{R_C}$$

其中$R_C$为磁场的曲率半径。这个力由垂直于磁场，由曲线的中心指向外侧。为求出曲率漂移速度，构造出一个电场 $$E_C=\frac{F_C}{q}$$

再根据电场产生的漂移速度，可以得到 $$v_C=\frac{E_C\times B}{|B{|}^2}=\frac{F_C\times B}{q|B{|}^2}=-m\frac{v_{\parallel }^2}{R_C^2}\frac{R_C\times B}{q|B{|}^2}$$

负号是因为离心力方向与曲率半径方向相反（曲率半径方向指向曲率中心）。引入平行动能${\omega }_{\parallel }=(1/2)m{v}_{\parallel }^2$，曲率漂移可以写成与梯度漂移相似的形式 $$v_C=\frac{2{\omega }_{\parallel }}{q|B{|}^2}\left[\frac{B\times R_C}{|R_C{|}^2}\right]$$

梯度漂移、曲率漂移与电场漂移的比较

梯度漂移速度与曲率漂移速度正比于动能，而$E\times B$漂移不依赖于粒子的动能。因此$E\times B$漂移趋向于主导低能（“冷”）粒子的运动，而梯度漂移和曲率漂移趋向于主导高能（“热”）粒子的运动。梯度漂移与曲率漂移都与粒子所带电荷有关，而$E\times B$漂移不依赖于粒子所带电荷。因此梯度漂移与曲率漂移会产生电流，而$E\times B$漂移不会。梯度漂移与曲率漂移并不会使粒子沿着等势面运动，所以粒子可以获得或者失去能量。