前面咱们讲的都是1维问题，下面咱们讲讲2维问题。实际上，所有的现实问题都是3维问题，可是在特定情况下，可以把它们简化为2维问题来分析。在弹性力学中，常见的有3类2维问题，即，平面应力、平面应变、轴对称问题。咱们讲下什么是平面应力和平面应变问题。
关于平面应力和平面应变更加详细的弹性力学推导，请参考： https://wenku.baidu.com/view/c63e00c7aa00b52acfc7caf7.html
对于一个薄板，即长度和宽度远远大于厚度的板，其边缘受平行于板面且不沿厚度方向变化的面力和体力，则可近似认为是平面应力问题。比如平板两端拉伸的问题，注意平板受弯曲的问题则不满足该条件，因其受力是垂直于板面的！
原本的6个应力 σ x \sigma_x σx、 σ y \sigma_y σy、 σ z \sigma_z σz、 τ x y = τ y x \tau_{xy}=\tau_{yx} τxy=τyx、 τ y z = τ z y \tau_{yz}=\tau_{zy} τyz=τzy、 τ z x = τ x z \tau_{zx}=\tau_{xz} τzx=τxz， 平面应力状态下，z方向应力近似为0，即，对于上面的薄板受力状态而言，其上下表面是没有z方向的应力的！即 σ z = 0 \sigma_z=0 σz=0、 τ z y = 0 \tau_{zy}=0 τzy=0、 τ z x = 0 \tau_{zx}=0 τzx=0， 那么仅剩下 σ x \sigma_x σx、 σ y \sigma_y σy、 τ x y \tau_{xy} τxy三个应力，故而是平面应力状态！
对于柱体，即长度远大于截面尺寸，柱面上承受平行于横截面且不沿长度方向变化的面力和体力，则可近似认为是平面应变问题。比如，水坝、厚壁圆筒、滚柱等问题。
由于z方向很长，其类似于周期边界，没有z方向的位移发生，所以z方向的应变 ϵ z = 0 \epsilon_z=0 ϵz=0、 γ z x = 0 \gamma_{zx}=0 γzx=0、 γ z y = 0 \gamma_{zy}=0 γzy=0。 如此，原本三维空间的6个应变量 ϵ x \epsilon_x ϵx、 ϵ y \epsilon_y ϵy、 ϵ z \epsilon_z ϵz、 γ x y = γ y x \gamma_{xy}=\gamma_{yx} γxy=γyx、 γ y z = γ z y \gamma_{yz}=\gamma_{zy} γyz=γzy、 γ z x = γ x z \gamma_{zx}=\gamma_{xz} γzx=γxz仅剩下了xy平面上的3个量，即 ϵ x \epsilon_x ϵx、 ϵ y \epsilon_y ϵy、 γ x y \gamma_{xy} γxy，所以叫做平面应变问题。
{ ∂ σ x ∂ x + ∂ τ x y ∂ y + X = 0 ∂ τ y x ∂ x + ∂ σ y ∂ y + Y = 0 \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+X=0 \\ \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_y}{\partial y}+Y=0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂x∂σx+∂y∂τxy+X=0∂x∂τyx+∂y∂σy+Y=0
{ ϵ x = ∂ u ∂ x ϵ y = ∂ v ∂ y γ x y = ∂ u ∂ y + ∂ u ∂ x \left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x} \\ \epsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ϵx=∂x∂uϵy=∂y∂vγxy=∂y∂u+∂x∂u
σ x \sigma_x σx、 σ y \sigma_y σy、 τ x y \tau_{xy} τxy 与 ϵ x \epsilon_x ϵx、 ϵ y \epsilon_y ϵy、 γ x y \gamma_{xy} γxy、 ϵ z \epsilon_z ϵz的关系。 注意z方向没有应力，但是有个应变 ϵ z \epsilon_z ϵz！
{ ϵ x = 1 E ( σ x − μ σ y ) ϵ y = 1 E ( σ y − μ σ x ) γ x y = 2 ( 1 + μ ) E τ x y \left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{1}{E}(\sigma_x-\mu\sigma_y) \\ \epsilon_y=\frac{1}{E}(\sigma_y-\mu\sigma_x) \\ \gamma_{xy}=\frac{2(1+\mu)}{E}\tau_{xy} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ϵx=E1(σx−μσy)ϵy=E1(σy−μσx)γxy=E2(1+μ)τxy ϵ z \epsilon_z ϵz的求法 ϵ z = μ E ( σ x + σ y ) \epsilon_z=\frac{\mu}{E}(\sigma_x+\sigma_y) ϵz=Eμ(σx+σy)
σ x \sigma_x σx、 σ y \sigma_y σy、 σ z \sigma_z σz、 τ x y \tau_{xy} τxy 与 ϵ x \epsilon_x ϵx、 ϵ y \epsilon_y ϵy、 γ x y \gamma_{xy} γxy的关系。 注意z方向没有应变，但是有个应力 σ z \sigma_z σz！
{ ϵ x = 1 − μ 2 E ( σ x − μ 1 − μ σ y ) ϵ y = 1 − μ 2 E ( σ y − μ 1 − μ σ x ) γ x y = 2 ( 1 + μ ) E τ x y \left\{ \begin{aligned} \epsilon_x=\frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_x-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_y) \\ \epsilon_y=\frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_y-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_x) \\ \gamma_{xy}=\frac{2(1+\mu)}{E}\tau_{xy} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ϵx=E1−μ2(σx−1−μμσy)ϵy=E1−μ2(σy−1−μμσx)γxy=E2(1+μ)τxy σ z \sigma_z σz的求法 σ z = μ ( σ x + σ y ) \sigma_z=\mu(\sigma_x+\sigma_y) σz=μ(σx+σy)
不难发现，两者方程形式上是相同的，只是系数不同罢了！这也就是为什么它们放在一起讨论。
平衡方程2个 + 几何方程3个 + 物理方程3个 = 8个方程，未知量有8个，即 u u u、 v v v、 ϵ x \epsilon_x ϵx、 ϵ y \epsilon_y ϵy、 γ x y \gamma_{xy} γxy、 σ x \sigma_x σx、 σ y \sigma_y σy、 τ x y \tau_{xy} τxy，注意 σ z \sigma_z σz和 ϵ z \epsilon_z ϵz并不参加运算，其可由计算结果直接算出来。 那么方程组时封闭的，可解！
受力边界条件 σ i j n j = T i \sigma_{ij}n_j=T_i σijnj=Ti 位移边界条件 u i = u ‾ i u_i=\overline u_i ui=ui
单元及其形函数（三角单元、矩形单元），刚度矩阵推导等，较为复杂，不要求本科生掌握，故不再写出，感兴趣的可参考相关书籍资料。
咱们只要知道要分析的问题属于平面应力还是平面应变问题就好了，因为在ANSYS中，他们是用一个单元表示的，需要在单元属性中去指明是平面应力还是平面应变问题。
