Leetcode304 二维区域和检索 - 矩阵不可变

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable/

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题目：

给定一个二维矩阵，计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1) ，右下角为 (row2, col2)。

上图子矩阵左上角 (row1, col1) = (2, 1) ，右下角(row2, col2) = **(4, 3)，**该子矩形内元素的总和为 8。

示例 1:

给定 matrix = [ [3, 0, 1, 4, 2], [5, 6, 3, 2, 1], [1, 2, 0, 1, 5], [4, 1, 0, 1, 7], [1, 0, 3, 0, 5] ] sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8 sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11 sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12

说明:

你可以假设矩阵不可变。会多次调用 sumRegion 方法*。*你可以假设 row1 ≤ row2 且 col1 ≤ col2。

解题思路：

方法一：缓存

直观想法

尝试将二维矩阵视为一维数组的 $m$ 行。为了找到区域和，我们只需要在区域中逐行累积和。

C++

class NumMatrix { public: vector<vector<int>> dp; NumMatrix(vector<vector<int>> &matrix) { if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) return; dp = vector<vector<int>>(matrix.size(), vector<int>(matrix[0].size() + 1, 0)); for (int r = 0; r < matrix.size(); ++r) { for (int c = 0; c < matrix[0].size(); ++c) { dp[r][c + 1] = dp[r][c] + matrix[r][c]; } } } int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) { int sum = 0; for (int row = row1; row <= row2; ++row) { sum += (dp[row][col2 + 1] - dp[row][col1]); } return sum; } };

Java

private int[][] dp; public NumMatrix(int[][] matrix) { if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) return; dp = new int[matrix.length][matrix[0].length + 1]; for (int r = 0; r < matrix.length; r++) { for (int c = 0; c < matrix[0].length; c++) { dp[r][c + 1] = dp[r][c] + matrix[r][c]; } } } public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) { int sum = 0; for (int row = row1; row <= row2; row++) { sum += dp[row][col2 + 1] - dp[row][col1]; } return sum; }

Python

class NumArray: def __init__(self, nums: List[int]): def sumRange(self, i: int, j: int) -> int: # Your NumArray object will be instantiated and called as such: # obj = NumArray(nums) # param_1 = obj.sumRange(i,j)

复杂度分析

时间复杂度：每次查询的时间 $O(m)$。$O(mn)$ 时间预计算。构造函数中的预计算需要 $O(mn)$ 时间。sumregion 查询需要 $O(m)$ 时间。 空间复杂度：$O(mn)$。该算法使用 $O(mn)$ 空间存储所有行的累积和。

方法二：缓存

我们在一维版本中使用了累积和数组。我们注意到累积和是根据索引 0 处的原点计算的。将这个类比扩展到二维情况，我们可以预先计算出一个与原点相关的累积区域和，即 (0,0)。

Sum(OD)是相对于原点(0,0)的累计区域和。 如何使用预先计算的累积区域和得出 $Sum(ABCD)$ 呢？

Sum(OB)是矩形顶部的累积区域和。

Sum(OC)是矩形左侧的累积区域和。

Sum(OA) 是矩形左上角的累积区域和。 区域 Sum(OA) 由 Sum(OB) 和 Sum(OC) 两次覆盖。我们可以使用包含排除原则计算 Sum(ABCD) 如下： $$sum(abcd)=sum(od)-sum(ob)-sum(oc)+sum(oa)$$

C++

class NumMatrix { public: vector<vector<int>> dp; NumMatrix(vector<vector<int>> &matrix) { if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) { return; } dp = vector<vector<int>>(matrix.size() + 1, vector<int>(matrix[0].size() + 1, 0)); for (int row = 0; row < matrix.size(); ++row) { for (int column = 0; column < matrix[0].size(); ++column) { dp[row + 1][column + 1] = dp[row + 1][column] + dp[row][column + 1] + matrix[row][column] - dp[row][column]; } } } int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) { return dp[row2 + 1][col2 + 1] - dp[row1][col2 + 1] - dp[row2 + 1][col1] + dp[row1][col1]; } };

Java

private int[][] dp; public NumMatrix(int[][] matrix) { if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) return; dp = new int[matrix.length + 1][matrix[0].length + 1]; for (int r = 0; r < matrix.length; r++) { for (int c = 0; c < matrix[0].length; c++) { dp[r + 1][c + 1] = dp[r + 1][c] + dp[r][c + 1] + matrix[r][c] - dp[r][c]; } } } public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) { return dp[row2 + 1][col2 + 1] - dp[row1][col2 + 1] - dp[row2 + 1][col1] + dp[row1][col1]; }

Python

class NumMatrix: def __init__(self, matrix: List[List[int]]): def sumRegion(self, row1: int, col1: int, row2: int, col2: int) -> int: # Your NumMatrix object will be instantiated and called as such: # obj = NumMatrix(matrix) # param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2)

复杂度分析

时间复杂度：每次查询时间 $O(1)$，$O(mn)$ 的时间预计算。构造函数中的预计算需要 $O(mn)$ 时间。每个 sumregion 查询需要 $O(1)$ 时间 。空间复杂度：$O(mn)$，该算法使用 $O(mn)$ 空间存储累积区域和。