矩阵理论研究生学习（一）

lambda矩阵lambda矩阵的初等变换行列式因子Smith标准型与不变因子证明题

lambda矩阵

lambda矩阵是含有参数lambda的矩阵，其中有元素是关于lambda的多项式，故又称多项式矩阵。数字矩阵则不含有lambda，是全为数字的矩阵。 注意，数字矩阵的行列式值是固定的，要么其可逆，要么不可逆。而lambda矩阵的行列式值通常是不固定的，为lambda的多项式，因此，有时可逆有时不可逆！那么怎么定义秩呢？岂不是多项式矩阵中的子式有时候为零有时候不为零呢？定义，不恒为零的子式的最高阶数为多项式矩阵的秩。 实际上，我在最初看到这里时，发现书上并没有从行列式是否为零来讨论多项式矩阵A是否可逆，而是从能否再找到一个多项式矩阵B，s.t. A*B=B*A=I来说明A是否可逆的。其中的原因我后来才发现。实际上，若多项式矩阵A可逆，则A可以通过初等变换化为单位阵I。原因在后说明。

lambda矩阵的初等变换

lambda矩阵也有初等变换， （1）某一行和另外一行交换；或者某一列和另外一列交换。 （2）某一行乘以非零常数；或者列。 （3）某一行加上另外一行的f(lambda)倍；或者列。 乍看上去，好象和数字矩阵的初等变换没什么区别，但是注意，第三条不再是另外一行的常数倍，而是lambda倍，即乘以lambda的多项式。 千万注意，第二条不能是乘以lambda的多项式，因为改变多项式矩阵的行列式值。 因为初等变换是单位阵“稍微变化”而来，即将Eii=1换到Eij=1,Ejj=1换到Eji=1； Eii=1换到Eii=k; 或者加入Eij=lambda； 显然这些初等变换对应的矩阵都是可逆的。这里的第三种矩阵，就说明了，即使是含有lambda的多项式矩阵，也可以是可逆的，必须对任何的lambda值，都可逆，则多项式矩阵可逆。实际上，该矩阵正是通过单位阵经过初等变换而来，因此可逆，后面还将看到，该矩阵的Smith标准型是单位阵，所以可逆；如果Smith标准型不是单位阵，则不可逆。

行列式因子

多项式矩阵A的所有k阶非零子式的最大公因式为A的k阶行列式因子。

Smith标准型与不变因子

多项式矩阵A经过有限次初等变换后，可以得到一个对角阵。元素个数为r(A)个。 设为d(1),d(2),d(3),…,d®.满足d(i)|d(i+1)且d(i)为首一多项式（lambda最高次数项系数为1）,该对角阵即为Smith标准型。 d(1),d(2),…,d®即为不变因子

证明题

两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价

证明： 必要性：设A与B相似，则存在可逆矩阵P，s.t. 充分性：设A与B的特征多项式等价，则有可逆lambda矩阵