逻辑斯蒂回归的先验分布是伯努利分布，softmax的先验分布是多项式分布
LR太简单了，简单到经常被用，但是很多推导仍然迷糊的程度，这篇主要用来总结一下。
线性回归的表达式： f ( x ) = w T x + b f(x)=w^Tx+b f(x)=wTx+b 由于带一个b，我们可以令 x ′ = [ 1 , x ] T x'=[1, x]^T x′=[1,x]T，同时 w ′ = [ b , w ] T w'=[b, w]^T w′=[b,w]T，这样直线方程就可以简化成 f ′ ( x ) = w ′ T x f'(x)=w^{'T}x f′(x)=w′Tx 所以，当有m组训练数据，n维features时，一会儿得到的梯度是n+1维，接下来推梯度，先得推导一下loss function。由于线性回归结果是个实数，为了让他属于(0,1)之间，给它过一个sigmoid。如果是多分类，最后接Softmax。假设有一组样本 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) . . . ( x n , y n ) (x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_n,y_n) (x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，针对2分类的情况， y n = 0 或 1 y_n=0或1 yn=0或1，给定 x i x_i xi的情况下， y i y_i yi是1的概率是 p i = 1 1 + e x p ( − w x i ) p_i=\frac{1}{1+exp(-wx_i)} pi=1+exp(−wxi)1，loss function利用了最大似然的想法： L = l n [ ∏ i = 1 n p i y i ( 1 − p i ) ( 1 − y i ) ] L = ∑ i [ y i l n p i + ( 1 − y i ) l n ( 1 − p i ) ] o b j = arg max w L ( w ) 当 然 可 以 改 成 o b j = arg min w − L ( w ) 所 以 L = − ∑ i [ y i l n p i + ( 1 − y i ) l n ( 1 − p i ) ] L=ln[\prod_{i=1}^np_i^{y_i}(1-p_i)^{(1-y_i)}] \\ L=\sum_i[{y_ilnp_i+(1-y_i)ln(1-p_i)]} \\ obj = \argmax_w{L(w)} \\ 当然可以改成 obj = \argmin_w{-L(w)} \\ 所以 \\ L=-\sum_i[{y_ilnp_i+(1-y_i)ln(1-p_i)]} L=ln[i=1∏npiyi(1−pi)(1−yi)]L=i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)]obj=wargmaxL(w)当然可以改成obj=wargmin−L(w)所以L=−i∑[yilnpi+(1−yi)ln(1−pi)] 接下来开始求梯度，注意 ∂ p i ∂ w i = p i ( 1 − p i ) x i \frac{\partial p_i}{\partial w_i} = p_i(1-p_i)x_i ∂wi∂pi=pi(1−pi)xi ∂ L ∂ w = − ∑ i = 1 n x i ( y i − p i ) \frac{\partial L}{\partial w}=-\sum_{i=1}^nx_i(y_i-p_i) ∂w∂L=−i=1∑nxi(yi−pi)
最后用Adam求解就可以
另外一个问题是LR是不是凸函数，当然是，因为二阶Hessian矩阵>=0，下面我们求一下二阶导数： ∂ 2 L ∂ 2 w = − ∑ i = 1 n p i ( 1 − p i ) x i x i T > = 0 \frac{\partial^2 L}{\partial^2 w}=-\sum_{i=1}^np_i(1-p_i)x_ix_i^T >= 0 ∂2w∂2L=−i=1∑npi(1−pi)xixiT>=0
