图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
1)顶点(vertex)
2)边(edge)
3)无向图(下图)：顶点之间的连接没有方向，比如A-B，即可以是 A-> B 也可以 B->A .
4)路径：比如从 D -> C 的路径有
D->B->CD->A->B->C5)有向图
6)带权图
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。
邻接表
1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2)邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
说明:
标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4标号为1的结点的相关联结点为0 4，标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5....
要求: 代码实现如下图结构：
/** * * 图 */ public class Graph { private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合 private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; //表示边的数目 private boolean[] isVisited; //记录某个结点是否被访问 //构造器 public Graph(int n){ //初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; // isVisited = new boolean[n]; } //得到第一个邻接点的下标w public int getFirstNeighbor(int index){ for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { if(edges[index][j] > 0) return j; } return -1; } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2){ for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { if(edges[v1][j] > 0) return j; } return -1; } //深度优先遍历算法 private void dfs(boolean[] isVisited, int i){ //首先我们访问该结点，输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->"); //将结点设置为已经访问 isVisited[i] = true; //查找结点i的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1){ if(!isVisited[w]) dfs(isVisited, w); //如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对dfs进行重载，遍历所有的结点，并进行dfs public void dfs(){ isVisited = new boolean[vertexList.size()]; //遍历所有的结点，进行dfs[回溯] for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if(!isVisited[i]) dfs(isVisited, i); } } //对一个结点进行广度优先遍历的方法 private void bfs(boolean[] isVisited, int i){ int u; //表示队列的头结点对应下标 int w; //邻接结点w //队列，记录结点访问的顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点，输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->"); //标记为已访问 isVisited[i] = true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while ( !queue.isEmpty()){ //取出队列的头结点下标 u = (Integer)queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1){ //找到 //是否访问过 if(!isVisited[w]){ System.out.print(getValueByIndex(w) + "-->"); //标记已经访问 isVisited[w] = true; //入队 queue.addLast(w); } //以u为前驱点，找w后面的下一个邻接点 w = getNextNeighbor(u, w); //体现广度优先 } } } //遍历所有的结点，都进行广度优先 public void bfs(){ isVisited = new boolean[vertexList.size()]; //如果想让深度和广度预先同时运行，把构造器中的初始化放到两个重载的方法中 for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if(!isVisited[i]) bfs(isVisited, i); } } //返回结点的个数 public int getNumOfVertex(){ return vertexList.size(); } //显示图对应的矩阵 public void showGraph(){ for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } //返回边的个数 public int getNumOfEdges(){ return numOfEdges; } //返回返回结点 i（下标）对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i){ return vertexList.get(i); } //返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2){ return edges[v1][v2]; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex){ vertexList.add(vertex); } //添加边 /** * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 第二个顶点的下标 * @param weight * */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){ edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges ++; } }Test：
public static void main(String[] args) { int n = 5; //结点的个数 String vertexValue[] = {"A","B","C","D","E"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环添加顶点 for (String value : vertexValue) { graph.insertVertex(value); } //添加边 //A-B A-C B-C B-D B-E graph.insertEdge(0,1,1); //A-B graph.insertEdge(0,2,1); // graph.insertEdge(1,2,1); // graph.insertEdge(1,3,1); // graph.insertEdge(1,4,1); // //显示邻接矩阵 graph.showGraph(); //深度优先遍历 // System.out.println("深度优先"); // graph.dfs(); //广度优先 System.out.println("广度优先"); graph.bfs(); }Output：
[0, 1, 1, 0, 0] [1, 0, 1, 1, 1] [1, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0] 广度优先 A-->B-->C-->D-->E-->
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: ①深度优先遍历 ②广度优先遍历
1)深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤：
1)访问初始结点v，并标记结点v为已访问。2)查找结点v的第一个邻接结点w。3)若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。4)若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。5)查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
广度优先搜索(BFS)类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
1) 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2) 结点v入队列
3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4) 出队列，取得队头结点u。
5) 查找结点u的第一个邻接结点w。
6) 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。 结点 w 入队列查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤6。
1) 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树 。
2) N 个顶点，一定有 N - 1 条边。
3) 包含全部顶点。
4) N - 1 条边都在图中。
5)举例说明(如图：)
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
6.2.1 普里姆算法介绍
1) 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有 (n-1) 条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。
2) 普利姆的算法：
①设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 。
②若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1。
③若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1。
④重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。
（加入第一个顶点时，找与该顶点相连 权值最小的边的顶点，加入集合中；第二次就是找与这两个顶点相连 权值最小的边的顶点加入集合....）
6.2.2 普里姆算法最佳实践 - 修路问题
有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通。各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
/** * * 普里姆算法（Prim） - 村庄修路问题 */ public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; int vertex = data.length; //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通 int [][]weight=new int[][]{ {10000,5,7,10000,10000,10000,2}, {5,10000,10000,9,10000,10000,3}, {7,10000,10000,10000,8,10000,10000}, {10000,9,10000,10000,10000,4,10000}, {10000,10000,8,10000,10000,5,4}, {10000,10000,10000,4,5,10000,6}, {2,3,10000,10000,4,6,10000},}; //创建MGraph对象 MGraph graph = new MGraph(vertex); //创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight); //输出 minTree.showGraph(graph); //测试普利姆算法 minTree.prim(graph, 0);// } } //创建最小生成树 --> 村庄的图 class MinTree{ //创建图的邻接矩阵 /** * @param graph 图对象 * @param vertex 图对应的顶点个数 * @param data * @param weight * */ public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char data[], int[][] weight){ int i, j; for(i = 0; i < vertex; i++){ graph.data[i] = data[i]; for(j = 0; j < vertex; j++) graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } //显示图的邻接矩阵 public void showGraph(MGraph graph){ for(int[] link : graph.weight) System.out.println(Arrays.toString(link)); } //编写prim算法，得到最小生成树 /** * * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */ public void prim(MGraph graph, int v) { //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过 int visited[] = new int[graph.vertex]; //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过 // for(int i =0; i <graph.verxs; i++) { // visited[i] = 0; // } //把当前这个结点标记为已访问 visited[v] = 1; //h1 和 h2 记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换 for(int k = 1; k < graph.vertex; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边 //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近 for(int i = 0; i < graph.vertex; i++) {// i结点表示被访问过的结点 for(int j = 0; j< graph.vertex;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点 if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边) minWeight = graph.weight[i][j]; h1 = i; h2 = j; } } } //找到一条边是最小 System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight); //将当前这个结点标记为已经访问 visited[h2] = 1; //minWeight 重新设置为最大值 10000 minWeight = 10000; } } } class MGraph{ int vertex; //表示图的结点个数 char[] data; //存放结点数据 int[][] weight; //存放边，就是邻接矩阵 public MGraph(int vertex){ this.vertex = vertex; data = new char[vertex]; weight = new int[vertex][vertex]; } }Output：
[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2] [5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3] [7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000] [10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000] [10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4] [10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6] [2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000] 边<A,G> 权值:2 边<G,B> 权值:3 边<G,E> 权值:4 边<E,F> 权值:5 边<F,D> 权值:4 边<A,C> 权值:7
6.3.1 克鲁斯卡尔算法介绍
1) 克鲁斯卡尔算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2) 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n - 1 条边，并保证这 n - 1 条边不构成回路。
3) 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
（第一次选择 权值最小的边连起来，第二次选择 权值第二小的边连起来...直到成为一棵树为止。）
6.3.2 克鲁斯卡尔最佳实践 - 公交站问题
有北京有新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通。各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里。问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法需要解决的两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。 (02) D的终点是F。 (03) E的终点是F。 (04) F的终点是F。
关于终点的说明：
将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。 /** * * 鲁斯卡尔算法 */ public class KruskalCase { public static void main(String[] args) { char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //输出构建的 kruskalCase.print(); kruskalCase.kruskal(); } private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点, 复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j= 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i =0; i < vlen; i++) { for(int j = i+1; j < vlen; j++) { if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4 //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5 //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //m = 4 //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); // n = 5 //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } } //打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为: \n"); for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d", matrix[i][j]); } System.out.println();//换行 } } /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) {//找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边 class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]"; } } 邻接矩阵为: 0 12 2147483647 2147483647 2147483647 16 14 12 0 10 2147483647 2147483647 7 2147483647 2147483647 10 0 3 5 6 2147483647 2147483647 2147483647 3 0 4 2147483647 2147483647 2147483647 2147483647 5 4 0 2 8 16 7 6 2147483647 2 0 9 14 2147483647 2147483647 2147483647 8 9 0 图的边的集合=[EData [<A, B>= 12], EData [<A, F>= 16], EData [<A, G>= 14], EData [<B, C>= 10], EData [<B, F>= 7], EData [<C, D>= 3], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<D, E>= 4], EData [<E, F>= 2], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9]] 共12 最小生成树为 EData [<E, F>= 2] EData [<C, D>= 3] EData [<D, E>= 4] EData [<B, F>= 7] EData [<E, G>= 8] EData [<A, B>= 12]
7.1.1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
迪杰斯特拉算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他各个结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
7.1.2 迪杰斯特拉算法过程
设置出发顶点为v，顶点集合 V{v1,v2,vi...}，v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis，Dis{d1,d2,di...}，Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离 (到自身可以看作 0，v 到 vi 距离对应为 di )。
1) 从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合，同时移出 V 集合中对应的顶点 vi，此时的 v 到 vi 即为最短路径。
2) 更新 Dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 集合中顶点的距离值，与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留值较小的一个 (同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的)。
3) 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束。
7.1.3 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用 - 最短路径
战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄。各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。问：如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离? 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
Dijkstra算法图解：
/** * 迪杰斯特拉算法 */ public class DijkstraAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; //邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535; // 表示不可以连接 matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2}; matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3}; matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N}; matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N}; matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4}; matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6}; matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N}; //创建 Graph对象 Graph graph = new Graph(vertex, matrix); //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok graph.showGraph(); //测试迪杰斯特拉算法 graph.dsj(2);//C graph.showDijkstra(); } } class Graph { private char[] vertex; // 顶点数组 private int[][] matrix; // 邻接矩阵 private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合 // 构造器 public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) { this.vertex = vertex; this.matrix = matrix; } //显示结果 public void showDijkstra() { vv.show(); } // 显示图 public void showGraph() { for (int[] link : matrix) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } //迪杰斯特拉算法实现 /** * @param index 表示出发顶点对应的下标 */ public void dsj(int index) { vv = new VisitedVertex(vertex.length, index); update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 for(int j = 1; j <vertex.length; j++) { index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点 update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点 } } //更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点, private void update(int index) { int len = 0; //根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行 for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) { // len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和 len = vv.getDis(index) + matrix[index][j]; // 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新 if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) { vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index顶点 vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离 } } } } // 已访问顶点集合 class VisitedVertex { // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新 public int[] already_arr; // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新 public int[] pre_visited; // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis public int[] dis; //构造器 /** * @param length :表示顶点的个数 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6 */ public VisitedVertex(int length, int index) { this.already_arr = new int[length]; this.pre_visited = new int[length]; this.dis = new int[length]; //初始化 dis数组 Arrays.fill(dis, 65535); this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过 this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0 } /** * 功能: 判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false */ public boolean in(int index) { return already_arr[index] == 1; } /** * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离 * @param index * @param len */ public void updateDis(int index, int len) { dis[index] = len; } /** * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点 * @param pre * @param index */ public void updatePre(int pre, int index) { pre_visited[pre] = index; } /** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */ public int getDis(int index) { return dis[index]; } /** * 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的G 完后，就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点) * @return */ public int updateArr() { int min = 65535, index = 0; for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) { if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) { min = dis[i]; index = i; } } //更新 index 顶点被访问过 already_arr[index] = 1; return index; } //显示最后的结果 //即将三个数组的情况输出 public void show() { System.out.println("---------------------------------------"); //输出already_arr for(int i : already_arr) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //输出pre_visited for(int i : pre_visited) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //输出dis for(int i : dis) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); //为了好看最后的最短距离，我们处理 char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int count = 0; for (int i : dis) { if (i != 65535) { System.out.print(vertex[count] + "("+i+") "); } else { System.out.println("N "); } count++; } System.out.println(); } }
7.2.1 弗洛伊德(Floyd)算法介绍
1) 和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
2) 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中任意两个顶点之间的最短路径。
3) 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
4) 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。
7.2.2 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
1) 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径
2) 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得
3) 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明
7.2.3 弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)，各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?
图解：
/** * * 弗洛伊德算法 */ public class FloydAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 测试看看图是否创建成功 char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //创建邻接矩阵 int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length]; final int N = 65535; matrix[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2}; matrix[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3}; matrix[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N}; matrix[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N}; matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4}; matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6}; matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0}; //创建 Graph 对象 Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex); //调用弗洛伊德算法 graph.floyd(); graph.show(); } } // 创建图 class Graph { private char[] vertex; // 存放顶点的数组 private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组 private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点 // 构造器 /** * @param length 大小 * @param matrix 邻接矩阵 * @param vertex 顶点数组 */ public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) { this.vertex = vertex; this.dis = matrix; this.pre = new int[length][length]; // 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标 for (int i = 0; i < length; i++) { Arrays.fill(pre[i], i); } } // 显示pre数组和dis数组 public void show() { //为了显示便于阅读，我们优化一下输出 char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; for (int k = 0; k < dis.length; k++) { // 先将pre数组输出的一行 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " "); } System.out.println(); // 输出dis数组的一行数据 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ") "); } System.out.println(); System.out.println(); } } //弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现 public void floyd() { int len = 0; //变量保存距离 //对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G] for (int k = 0; k < dis.length; k++) { // //从i顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G] for (int i = 0; i < dis.length; i++) { //到达j顶点 // [A, B, C, D, E, F, G] for (int j = 0; j < dis.length; j++) { len = dis[i][k] + dis[k][j]; // => 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j 顶点距离 if (len < dis[i][j]) { //如果len小于 dis[i][j] dis[i][j] = len; //更新距离 pre[i][j] = pre[k][j]; //更新前驱顶点 } } } } } }
Output：
A A A F G G A (A到A的最短路径是0) (A到B的最短路径是5) (A到C的最短路径是7) (A到D的最短路径是12) (A到E的最短路径是6) (A到F的最短路径是8) (A到G的最短路径是2) B B A B G G B (B到A的最短路径是5) (B到B的最短路径是0) (B到C的最短路径是12) (B到D的最短路径是9) (B到E的最短路径是7) (B到F的最短路径是9) (B到G的最短路径是3) C A C F C E A (C到A的最短路径是7) (C到B的最短路径是12) (C到C的最短路径是0) (C到D的最短路径是17) (C到E的最短路径是8) (C到F的最短路径是13) (C到G的最短路径是9) G D E D F D F (D到A的最短路径是12) (D到B的最短路径是9) (D到C的最短路径是17) (D到D的最短路径是0) (D到E的最短路径是9) (D到F的最短路径是4) (D到G的最短路径是10) G G E F E E E (E到A的最短路径是6) (E到B的最短路径是7) (E到C的最短路径是8) (E到D的最短路径是9) (E到E的最短路径是0) (E到F的最短路径是5) (E到G的最短路径是4) G G E F F F F (F到A的最短路径是8) (F到B的最短路径是9) (F到C的最短路径是13) (F到D的最短路径是4) (F到E的最短路径是5) (F到F的最短路径是0) (F到G的最短路径是6) G G A F G G G (G到A的最短路径是2) (G到B的最短路径是3) (G到C的最短路径是9) (G到D的最短路径是10) (G到E的最短路径是4) (G到F的最短路径是6) (G到G的最短路径是0)
