最小生成树

定理：任意一棵最小生成树一定包含无向图中权值最小的边。

证明：假设无向图G=（V，E）存在一棵最小生成树不包含权值最小的边。设e=（x，y，z）是无向图中权值最小的边。把e添加到树中，e会和树上从x到y的路径一起构成一个环，并且环上其它边的权值都比z大。因此，用e代替环上的其它任意一条边，会形成一棵权值和更小的生成树，与假设矛盾。因此假设不成立，原命题成立。

推论：给定一张无向图G=（V，E），n=|V|，m=|E|。从E中选出k<n-1条边构成G的一个生成森林。若再从剩余的m-k条边中选n-1-k条添加到生成森林中，使其成为G的生成树，并且选出的边的权值之和最小，则该生成树一定包含这m-k条边中连接生成森林的两个不联通节点的权值最小的边。 --------以上来自《算法竞赛进阶指南》

1.Kruskal算法

步骤：First：建立并查集，起初，每个点各自构成一个集合。 Second：把所有的边按照权值从小到大排序，依次扫描每条边（x，y，z）。 Third1：若x，y属于同一集合，就跳过。 Third2：若x，y不属于同一集合，合并x，y所在的集合，并把z累加到答案中。 Last：所有边扫描完成后，Third2中处理过的边就构成最小生成树。 时间复杂度:O(mlog m) 代码：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define maxn 10005 using namespace std; int fa[maxn];//父节点 int n,m; int ans;//最小生成树的边权和 struct node{//结构体存边 int x,y,z; }edge[maxn]; bool operator < (node a,node b)//结构体排序，按照边的长度从小到大排 { return a.z<b.z; } int get(int x)//并查集 { if(x==fa[x]) return x; else return fa[x]=get(fa[x]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z); sort(edge+1,edge+m+1); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) { int d1=get(edge[i].x); int d2=get(edge[i].y); if(d1==d2) continue;//在同一集合，也就是前面有更短的边连接了它们，跳过 else fa[d1]=d2;//不在同一集合，把它们加入到同一集合 ans+=edge[i].z;//累加最小生成树的边权 } printf("%d",ans); return 0; }

2.Prim算法 步骤：First :创建两个集合T,S，T集合里放已经确定属于最小生成树的节点，S集合里放剩余的节点，起初T集合里只有1号节点，剩下的都在S集合中。 Second：找到一条分别由T集合里的点和S集合的点所连成的最短的边，把这个S集合里的点放到T集合中，并且在S集合中删除该点，累计答案。 Last：重复Second，直至S集合中不存在元素。 时间复杂度O（n²），当然，使用二叉堆优化可以到达O（mlog n），但是过于复杂，正是因为这样，Prim算法主要运用于稠密图。 代码：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #define maxn 1005 using namespace std; int a[maxn][maxn],dist[maxn];//邻接矩阵存图 bool vis[maxn]; int n,m; int ans; void prim() { memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化 dist[1]=0; for(int i=1;i<n;i++) { int x=0; for(int j=1;j<=n;j++) if(!vis[j]&&(x==0||dist[j]<dist[x])) x=j;//在S集合中选择与T集合中节点连边最短的点 vis[x]=1;//把它在S集合中删除并放到T集合中 for(int k=1;k<=n;k++) if(!vis[k]) dist[k]=min(dist[k],a[x][k]);//判断一下x节点与S集合中剩下节点所连边的边长是否会更新剩余节点的dist值 } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); memset(a,0x3f,sizeof(a)); for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=0; for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); a[y][x]=a[x][y]=z;//无向图，双向边 } prim(); for(int i=2;i<=n;i++) ans+=dist[i];//累加权值 printf("%d",ans); return 0; }

上面代码中用标记的方法解决了S，T两个集合的处理问题。 dist数组作用类似Dijstra中使用的dist数组，但是这里的dist数组的作用又有所不同：若节点属于集合S，则该节点的dist值就是该节点与集合T中的节点之间长度最小的边的长度。若节点属于集合T，则该节点的dist值就是该节点被加入T集合时选出的最小边的长度。

emmm，结束。