克鲁斯卡尔算法的基本介绍和实现方法（Java）

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍：

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

应用案例：

公交站问题：

1）、某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通 2）、各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法图解：

以上图为例来进行演示：

克鲁斯卡尔算法流程：

第1步：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析：

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

解决方法：

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何盘算是否构成回路：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点： (01) C的终点是F。 (02) D的终点是F。 (03) E的终点是F。 (04) F的终点是F。

关于终点的说明：

就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

详细代码：

package Kruskal; import java.util.Arrays; public class KruskalAlogrithm { private int numOfEdges;// 边的数目 private char[] vertex;// 顶点的集合 private int[][] matrix;// 邻接矩阵 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; int matrix[][] = { /* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */ /* A */ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF }, /* C */ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF }, /* E */ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 }, /* G */ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } }; KruskalAlogrithm kruskalAlogrithm = new KruskalAlogrithm(vertex, matrix); kruskalAlogrithm.showGraph(); System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(kruskalAlogrithm.getEdges())); DEdge[] edges = kruskalAlogrithm.getEdges(); kruskalAlogrithm.sort(edges); System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(edges)); kruskalAlogrithm.Kruskal(); } // 初始化图 public KruskalAlogrithm(char[] vertex, int[][] matrix) { this.vertex = vertex; this.matrix = matrix; for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) { if (matrix[i][j] != INF) { this.numOfEdges++; } } } } // 打印邻接矩阵 public void showGraph() { for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { for (int j = 0; j < vertex.length; j++) { System.out.printf("%11d", matrix[i][j]); } System.out.println(); } } /** * * @Title: sort * @Description: 利用冒泡排序将每个边通过权值进行从小到大的排序 * @param @param edges 边的集合 * @return */ private void sort(DEdge[] edges) { for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for (int j = 0; j < edges.length - i - 1; j++) { if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) { DEdge temp = edges[j]; edges[j] = edges[j + 1]; edges[j + 1] = temp; } } } } /** * * @Title: getEdges * @Description: 得到边的一个集合 * @return */ private DEdge[] getEdges() { int index = 0; DEdge[] edges = new DEdge[numOfEdges]; for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) { if (matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new DEdge(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * * @Title: getPosition * @Description: 返回结点v的下标 * @param @param v 结点 * @return */ private int getPosition(char v) { for (int i = 0; i < vertex.length; i++) { if (vertex[i] == v) { return i; } } return -1; } /** * * @Title: getEnd * @Description: 返回下标为i的顶点对应的重点 * @param @param ends 各个顶点对应的终点的集合，再遍历边的时候动态加入 * @param @param i 要寻找的下标为i的顶点 * @return 下标为i的顶点对应的终点 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { while (ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } private void Kruskal() { // 初始化终点的集合 int index = 0; int[] ends = new int[numOfEdges]; DEdge[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); DEdge[] res = new DEdge[vertex.length-1]; sort(edges); for (int i = 0; i < numOfEdges; i++) { // 得到这一条边的第一个顶点的下标 int p1 = getPosition(edges[i].start); // 得到这一条边的第二个顶点的下标 int p2 = getPosition(edges[i].end); // 得到p1和p2的终点 int m = getEnd(ends, p1); int n = getEnd(ends, p2); if(m!=n) { res[index++] = edges[i]; //将m的终点置为n ends[m] = n; } } System.out.println("最小生成树："); for(int i = 0 ; i < index;i++) { System.out.println(res[i]); } } } //新建一个Dedges类 class DEdge { char start;// 边的一个点 char end;// 边的另一个点 int weight;// 边的权值 public DEdge(char start, char end, int weight) { super(); this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } @Override public String toString() { return "DEdge [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]"; } }

算法难点：

private int getEnd(int[] ends, int i) { while (ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; }

上述代码的作用使返回指定下标i的顶点的终点，要注意此时的ends数组使动态变化的也就是说再Kruskal（）方法中每遍历一次边时，符合m！=n这个条件才会将ends实行相应的变化，即将符合条件的边的start顶点的终点设置会end，而在上面这串代码中，则是获取相应的终点，如果下标为i的终点等于0，则表示终点指向自身，反之就在ends数组中找到相应的值。