当我做另一道题使用最短路算法时，我习惯性地去\(Luogu\)博找\(Dijksttra\)的板子，这时候我觉得这种算法应该记住，于是我又重温了一遍最短路算法，发现了很多困惑，尤其是关于\(SPFA\)和\(Dijkstra\)算法的区别。因为我的\(SPFA\)和\(Dijkstra\)都使用了堆优化。 然后我困惑了很久，终于明白了，准备推样例理解一下，又心血来潮重温了一下\(Dijkstra\)算法为什么不能处理负权边，然后构造了一个带负权的有向图，结果呢。我的\(Dijkstra\)竟然跑出了正确的答案! 我惊了，拿朋友的板子发现正确的\(Dijkstra\)算法是不能跑负权边的，于是我再去看我的板子，怀疑我的\(Dijkstra\)写成了\(SPFA\)，要是我发现了能处理负权边的\(Dijkstra\)算法，我估计会被保送吧哈哈。于是改掉了我的板子，所幸在\(NOIP\)前发现，在此简单总结一下最短路算法。
多源最短路算法，运用了松弛的思想，有很浓重的\(DP\)气息(因为它就是\(DP\))，通过枚举中间点转移。 复杂度\(O(n^3)\)，在解决最短路问题上基本没有用处，如果解决多源问题完全可以跑\(n\)遍\(Dijkstra\)，和矩阵乘法结合有一些用，具体我也忘了。
memset(f,inf,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=0; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) for(int k=1;k<=n;++k) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);\(SPFA\)是个随机数据下比较快的算法，它的思想是每次从队列中找到一个点，松弛它所连的边，然后出队，注意这个点是可以再次被更新的，也就是可以再次入队重新松弛，不断逼近，直到最后求出最优解。所以卡\(SPFA\)的办法就是让\(SPFA\)跑到终点，然后再从起点更新，让它不停地重复跑就可以了，具体方法是构造一个网格图，将横向边边权设为很小，纵边很大即可。\(SPFA\)最优复杂度为\(O(KE)\)，其中\(K\)是一个常数，但是最坏情况可以达到\(O(VE)\) 众所周知，现在很多最短路题目出题人都会卡\(SPFA\)，用双端队列优化或者是堆优化本质都是不变的，都会被卡，所以还是用\(Dijkstra\)吧。常规的\(SPFA\)
#include<bits/stdc++.h> #define N 10005 #define maxn 500005 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } void spfa(int s){ for(int i=1;i<=n;i++){ dis[i]=INF; vis[i]=true; } dis[s]=0; queue <int> q; q.push(s); vis[s]=false; while(!q.empty()){ eu=q.front(); q.pop(); vis[eu]=true; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){ dis[ev]=dis[eu]+e[i].w; if(vis[ev]){ q.push(ev); vis[ev]=false; } } } } } int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int main() { cin>>n>>m>>s; for(register int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y>>z; add(x,y,z); } spfa(s); for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); }比较常用的双端队列优化(\(SLF\)优化)，大概思想是队列为空或者当前最短距离比队首小时放到队首，否则放到队首，最好再熟悉一下\(STL\)
#include<bits/stdc++.h> #define N 100005 #define maxn 200005 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } void spfa(int s){ for(int i=1;i<=n;i++){ dis[i]=INF; } dis[s]=0; deque <int> q; q.push_back(s); vis[s]=1; while(!q.empty()){ eu=q.front(); q.pop_front(); vis[eu]=0; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){ dis[ev]=dis[eu]+e[i].w; if(!vis[ev]){ vis[ev]=1; // if(dis[q.front()] > dis[q.back()]) { // int fr = q.front() ; q.pop_front() ; // int ba = q.back() ; q.pop_back() ; // q.push_front(ba), q.push_back(fr) ; // } if(q.empty()||dis[ev]<dis[q.front()]) q.push_front(ev); else q.push_back(ev); } } } } } inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int main() { cin>>n>>m>>s; for(register int i=1;i<=m;i++) { x = read(), y = read(), z = read() ; add(x,y,z); } spfa(s); for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); }\(SPFA\)堆优化：算是比较快的，但是不常用，这个可以过掉洛谷的单源最短路（标准版），而且比\(Dijkstra\)要快
#include<bits/stdc++.h> #define N 200000 + 10 #define maxn 200000 + 10 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } struct cmp{ bool operator ()(int &x, int &y) { return dis[x] > dis[y]; } }; void spfa(int s) { for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF; dis[s]=0; priority_queue<int, vector<int>, cmp> q; q.push(s); vis[s]=1; while(!q.empty()){ eu=q.top(); q.pop(); vis[eu]=0; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].w<dis[ev]){ dis[ev]=dis[eu]+e[i].w; if(!vis[ev]){ vis[ev]=1; q.push(ev); } } } } } inline int read() { char ch = getchar(); int u = 0, f = 1; while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-')f = -1; ch = getchar();} while (isdigit(ch)) {u = u * 10 + ch - 48; ch = getchar();} return u * f; } int main() { n = read(); m = read(); s = read(); for(register int i=1;i<=m;i++) { x = read(), y = read(), z = read() ; add(x,y,z); } spfa(s); for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); }\(Dijkstra\)是最常用的最短路算法，原始时间复杂度为\(O(n^2)\)，堆优化后时间复杂度为\(O(nlogn)\)，而且比较稳定，很难卡掉 他的思想是从已更新的点集中选出最近的点，默认这个距离为该点的最短距离，再用它来更新其它点，这个过程可以用堆优化。 “默认这个距离为该点的最短距离”这是一个贪心的思想，那么这个贪心为什么是对的呢。 尝试用反证法证明，假设\(S-->A\)不是到\(A\)的最短路，而是通过集合外的一个点作为中间节点，即\(S-->B-->A\)，因为我们选择的是最近的点，所以\(S-->A\)一定小于\(S-->B\)，而且\(B-->A>0\)所以\(S-->A\)比\(S-->B-->A\)更优，这和假设矛盾，得证贪心成立
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<queue> #define re register #define maxn 200010 using namespace std; int head[maxn],vis[maxn],s,cnt,dis[maxn],n,m,a,b,c; struct Edge{ int v,w,nxt; }e[maxn<<2]; inline void add(int u,int v,int w) { e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].nxt=head[u]; head[u]=cnt; } struct node{ int u,d; bool operator <(const node&rhs) const{ return rhs.d<d; } }; void dijkstra() { //memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis)); dis[s]=0; priority_queue<node> q; q.push((node){s,0}); //vis[s]=1; while(!q.empty()) { node f=q.top(); q.pop(); int now=f.u,dd=f.d; if(vis[now]) continue; vis[now]=1; for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt) { int ev=e[i].v; if(dis[ev]>dis[now]+e[i].w) { dis[ev]=dis[now]+e[i].w; if(!vis[ev]) { q.push(node{ev,dis[ev]}); } } } } } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff; for(re int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); add(a,b,c); } dijkstra(); for(re int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dis[i]); return 0; }结构体重载就相当于\(cmp\)函数进行排序
bool operator <(const node&rhs) const{ return rhs.d<d;标准格式如上，上句话的意思是：一个结构体比另一个结构体小当且仅当这个结构体的\(d\)大于另一个结构体的\(d\)，\(rhs\)相当于别的结构体 又因为堆默认大根堆，从大到小排序，那么反过来\(d\)就从小到大排序了。
转载于:https://www.cnblogs.com/Liuz8848/p/11296234.html
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