一个示例有 d d d个属性： x ⃗ = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) \vec{x}=(x_1, x_2,...,x_d) x =(x1,x2,...,xd)，其表达形式为： f ( x ) = w T x + b (1.1) f(x)=w^Tx+b \tag{1.1} f(x)=wTx+b(1.1) 其中 w = ( w 1 , w 2 , . . . , w d ) w=(w_1, w_2, ..., w_d) w=(w1,w2,...,wd)
令预测值与真实值的均方根误差最小化 ( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( f ( x i ) − y i ) 2 (2.1) \begin{aligned} (w^*,b^*)=\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(f(x_i)-y_i)^2 \tag{2.1} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(f(xi)−yi)2(2.1)
( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( w ⋅ x i + b − y i ) 2 (2.2) \begin{aligned} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(w·x_i + b-y_i)^2 \tag{2.2} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(w⋅xi+b−yi)2(2.2)
令： E ( w , b ) = ∑ i = 1 m ( w ⋅ x i + b − y i ) 2 E_{(w,b)}=\sum_{i=1}^{m}(w·x_i+b-y_i)^2 E(w,b)=∑i=1m(w⋅xi+b−yi)2，对 w , b w,b w,b求导，令导数为0，解得 w , b w,b w,b分别为： w = ∑ i = 1 m y i ( x i − x ˉ ) ∑ i = 1 m x i 2 − 1 m ( ∑ i = 1 m x i ) 2 (2.3) w=\frac {\sum_{i=1}^{m}y_i(x_i-\bar{x})}{\sum _{i=1}^{m} {x^2_i}- \frac {1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_i)^2} \tag{2.3} w=∑i=1mxi2−m1(∑i=1mxi)2∑i=1myi(xi−xˉ)(2.3)
b = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − w x i ) (2.4) b=\frac {1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_i-wx_i) \tag{2.4} b=m1i=1∑m(yi−wxi)(2.4)
令设训练样本共有 m m m个，每个样本有 d d d个属性，把 b \boldsymbol{b} b与 x \boldsymbol{x} x写到一起，记为 X \boldsymbol{X} X，则 X \boldsymbol{X} X为： 根据向量求模长的公式，可写为 E ( w ∗ , b ) = arg min ( w ∗ ) ( y − X ⋅ w T ) T ⋅ ( y − X ⋅ w T ) (2.5) \begin{aligned} E_{(\boldsymbol{w^*, b})}= \mathop{\arg\min}_{(\boldsymbol{w^*})} (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X}·\boldsymbol{w^T})^T ·( \boldsymbol{y}-\boldsymbol{X}·\boldsymbol{w^T} ) \tag{2.5} \end{aligned} E(w∗,b)=argmin(w∗)(y−X⋅wT)T⋅(y−X⋅wT)(2.5)
令 E w ^ = ( y − X ⋅ w T ) T ⋅ ( y − X ⋅ w T ) E_{\boldsymbol{\hat{w}}}=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X}·\boldsymbol{w^T})^T ·(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{X}·\boldsymbol{w^T}) Ew^=(y−X⋅wT)T⋅(y−X⋅wT)
考虑矩阵求导：
所以，对 E w ^ E_{\boldsymbol{\hat{w}}} Ew^求导，有
令 ∂ E w ^ ∂ w ^ = 0 \frac {\partial{E_{\boldsymbol{\hat{w}}}}}{\partial{\hat{w}}}=0 ∂w^∂Ew^=0，考虑下列两种情况：
当 X \boldsymbol{X} X为满秩矩阵时： w ^ ∗ = ( X T X ) − 1 X T y \boldsymbol{\hat{w}^*}=\boldsymbol{(X^TX)^{-1}X^Ty} w^∗=(XTX)−1XTy，令 x ^ = [ x , 1 ] \boldsymbol{\hat{x}}=[\boldsymbol{x}, 1] x^=[x,1]，则学习到的模型为： f ( x ^ i ) = x ^ i ( X T X ) − 1 X T y (2.6) \begin{aligned} f(\boldsymbol{\hat{x}_i})=\boldsymbol{\hat{x}_i}\boldsymbol{(X^TX)^{-1}}\boldsymbol{X^Ty} \tag{2.6} \end{aligned} f(x^i)=x^i(XTX)−1XTy(2.6)当 X \boldsymbol{X} X为非满秩矩阵时（数据条数少于未知数个数）： 在这样的情况下，可能有多个解（ w ^ \boldsymbol{\hat{w}} w^）此时需要考虑正则化由于线性回归求的是具有最小均方误差的无偏估计，因此通常伴随着欠拟合的现象，一些方法会在估计方法中加入偏差，降低预测的均方误差。
通过给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后在这个子集上进行普通的回归（设计代价函数时，待预测点附近的点拥有更高的权重，权重随着距离的增大而缩减——这也就是名字中“局部”和“加权”的由来。） 那么，原本均方误差最小化的表达式为（公式2.2）： ( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 p w j ⋅ x i j + b − y i ) 2 (2.2) \begin{aligned} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{p}w_j·x_{ij} + b-y_i)^2 \tag{2.2} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(j=1∑pwj⋅xij+b−yi)2(2.2) 现在，我们把每一个点都赋予一定的权重（用 θ i \theta_i θi表示第 i i i个点的权重），目标是：离真实值越近，赋予的权重越大。因此，修改公式为： ( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m θ i ⋅ ( ∑ j = 1 p w j ⋅ x i j + b − y i ) 2 (3.1) \begin{aligned} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m} \theta_i·(\sum_{j=1}^{p}w_j·x_{ij} + b-y_i)^2 \tag{3.1} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑mθi⋅(j=1∑pwj⋅xij+b−yi)2(3.1) 公式(3.1)对权重 w w w求导并令其为0： ∂ ( w ∗ , b ∗ ) ∂ w ∗ = − 2 X T θ ( y − X W ) = 0 → X T W y = X T θ X W → W = ( X T θ X ) − 1 X T θ y (3.2) \begin{aligned} \frac {\partial (w^*,b^*)}{\partial w^*} &= -2 \boldsymbol{X^T \theta (y-XW) }=0 \\ \rightarrow \boldsymbol{X^TWy} &= \boldsymbol{X^T \theta XW} \\ \rightarrow \boldsymbol{W} &= \boldsymbol{(X^T \theta X)^{-1} X^T \theta y} \tag{3.2} \end{aligned} ∂w∗∂(w∗,b∗)→XTWy→W=−2XTθ(y−XW)=0=XTθXW=(XTθX)−1XTθy(3.2)
首先明确一点：局部加权线性回归是一个 非参数（non-parametric） 算法。之前学习的（不带权）线性回归算法是有 参数（parametric） 算法，因为它有固定的有限数量的，能够很好拟合数据的参数（权重）。一旦我们拟合出权重并存储了下来，也就不需要再保留训练数据样本来进行更进一步的预测了。相比而言，用局部加权线性回归做预测，我们需要保留整个的训练数据，每次预测得到不同的权重，即参数不是固定的。
术语 “非参数” 粗略意味着：我们需要保留用来代表假设 h的内容，随着训练集的规模变化是呈线性增长的。
局部加权线性回归使用“核”函数对附近的点赋予更高的权重，目前常用的类型就是高斯核，具体表达式为： w ( i , i ) = e x p ( ∣ x ( i ) − x ∣ 2 − 2 k 2 ) (3.3) \begin{aligned} w(i,i) &= exp(\frac{|x^{(i)}-x|^2 } {-2k^2} ) \tag{3.3} \end{aligned} w(i,i)=exp(−2k2∣x(i)−x∣2)(3.3)
使用高斯核函数具有以下特征：
构建了一个只含有对角元素的权重矩阵 w w w，当点 x x x与 x ( i ) x^{(i)} x(i)越接近，则 w ( i , i ) w(i,i) w(i,i)将会越大，随着样本点与待预测点距离的递增，权重将会以指数级衰减。
k k k能够控制衰减的速度。若 k k k越大，则权重的宽度越大，衰减的速度越慢，容易导致欠拟合；若 k k k越小，则权重的宽度越窄，衰减的速度越快，容易造成过拟合；<当 k = 1 k=1 k=1时，可认为是最小二乘法拟合的结果>
通常情况下，通过交叉验证或者网格搜索等方法确定最佳的k值。
为什么高斯核是对角矩阵？ 因为在矩阵中，只有对角线上的元素值表示的是 x 1 2 , x 2 2 , . . . , x n 2 x_1^2,x_2^2,...,x_n^2 x12,x22,...,xn2的系数。
上述两个方法：标准线性回归和局部加权线性回归都有一个重要基础——特征要比样本少，即输入数据的矩阵必须要是满秩矩阵。那么，当矩阵为非满秩矩阵时，都哪些处理方法？
在标准线性回归中，权重的值为： w ^ ∗ = ( X T X ) − 1 X T y \boldsymbol {\hat{w}^*} = \boldsymbol{(X^TX)^{-1}X^Ty} w^∗=(XTX)−1XTy
而岭回归的方法是在矩阵 X T X X^TX XTX上加一个 λ I \lambda I λI，即从对 X T X X^TX XTX的逆转化为对 X T X + λ I X^TX+\lambda I XTX+λI求逆，公式可写为：
w ^ ∗ = ( X T X + λ I ) − 1 X T y (4.1) \begin{aligned} \boldsymbol{\hat{w}^*}=\boldsymbol{(X^TX+\lambda I)^{-1}X^Ty} \tag{4.1} \end{aligned} w^∗=(XTX+λI)−1XTy(4.1) 对比公式(2.2)可知，岭回归其实是优化下面这个问题： ( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 p w j ⋅ x i j + b − y i ) 2 + λ ∑ j = 1 p w j 2 (4.2) \begin{aligned} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{p}w_j·x_{ij} + b-y_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p}w_j^2 \tag{4.2} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(j=1∑pwj⋅xij+b−yi)2+λj=1∑pwj2(4.2)
岭回归的意义: 加上了L2范数（目标函数的惩罚函数），作用是确保权重值不会很大，起到收缩的作用。对于岭回归来说，随着 λ \lambda λ的增大，模型的方差会减少（ X T X + λ I X^TX+\lambda I XTX+λI增大，( X T X + λ I ) − 1 X^TX+\lambda I)^{-1} XTX+λI)−1减小， w w w减小，因此偏差增大，因此 λ \lambda λ能够平衡偏差与方差的关系。），·
{ ( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 p w j ⋅ x i j + b − y i ) 2 附 加 约 束 条 件 ： λ ∑ j = 1 p w j 2 ≤ t (4.3) \begin{aligned} \left \{ \begin{matrix} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{p}w_j·x_{ij} + b-y_i)^2 \\ 附加约束条件： \lambda \sum_{j=1}^{p}w_j^2 \leq t & \end{matrix} \right. \tag{4.3} \end{aligned} {(w∗,b∗)=argmin(w,b)∑i=1m(∑j=1pwj⋅xij+b−yi)2附加约束条件：λ∑j=1pwj2≤t(4.3)
为了解决多重共线性的麻烦。作者在《岭回归和LASSO回归的区别》中提到了一个很通俗的例子，一个家庭的收入和支出具有很强的共线性，但是在岭回归系数平方和的约束下，通过调整权重值，即使收入有很大的正数，支出为很小的负数，最后预测的结果也不会有较大的偏差，这就是岭回归系数平方和约束的作用。
我们知道岭回归系数会随着 λ \lambda λ的变化而变化，为保证选择出最佳的岭回归系数，该如何确定这个 λ \lambda λ值呢？一般我们会选择定性的可视化方法和定量的统计方法。对这种方法作如下说明： 1）绘制不同 λ \lambda λ值与对应的 β \beta β值之间的折线图，寻找那个使岭回归系数趋于稳定的 λ \lambda λ值；同时与OLS相比，得到的回归系数更符合实际意义； 2）方差膨胀因子法，通过选择最佳的 λ \lambda λ值，使得所有方差膨胀因子不超过10； 3）虽然 λ \lambda λ的增大，会导致残差平方和的增加，需要选择一个 λ \lambda λ值，使得残差平方和趋于稳定（即增加幅度细微）。
上文提到，岭回归增加的约束是 ∑ k = 1 p β k 2 ≤ t \sum_{k=1}^{p}\beta_k^2 \leq t ∑k=1pβk2≤t，那么在lasso回归中，添加的约束条件为： ∑ k = 1 p ∣ β k ∣ ≤ t \sum_{k=1}^{p}|\beta_k| \leq t ∑k=1p∣βk∣≤t
( w ∗ , b ∗ ) = arg min ( w , b ) ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 p w j ⋅ x i j + b − y i ) 2 + λ ∑ j = 1 p ∣ w j ∣ (5.1) \begin{aligned} (w^*,b^*) =\mathop{\arg\min}_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{p}w_j·x_{ij} + b-y_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |w_j| \tag{5.1} \end{aligned} (w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(j=1∑pwj⋅xij+b−yi)2+λj=1∑p∣wj∣(5.1)
若采用这种约束，当 λ \lambda λ足够小的时候，一些系数会因此衰减为0。在lasso中起到了特征选择的作用，相对于岭回归来说，更容易使得某个特征的系数为0 lasso求解的方法：
坐标下降算法近端梯度方法交替方向乘子法但是，在新的约束条件下，若要解出回归系数，则需要使用二次规划法算法
前向逐步回归算法利用了贪心算法的思想，具体算法伪代码如下：
完整代码在这里
class Regression(object): def __init__(self): self.ws = None def standRgressFit(self, x_data, y_data): ''' 标准线性回归 :param data: 待拟合的数据 :param x_name: 输入的特征名称 :param y_name: 拟合对象的特征名称 :return: 系数 ''' x_matrix = np.mat(x_data.values) y_matrix = np.mat(y_data.values) xTx = x_matrix.T * x_matrix # 如果是非满秩矩阵 if np.linalg.det(xTx) == 0: print("This matrix is singular, cannot do inverse") return else: self.ws = xTx.I * (x_matrix.T * y_matrix) def lwlrFit(self, test_point, x_data, y_data, k=1): ''' 局部加权线性回归 :param test_point: 待预测点的特征 :param x_data: 训练集的特征数据 :param y_data: 训练集的结果数据 :param k: 权重的宽度 :return: 加权线性回归的权重矩阵 ''' xMat = np.mat(x_data) yMat = np.mat(y_data).T m = np.shape(xMat)[0] # 创建一个m*m的单位矩阵 weights = np.mat(np.eye((m))) # 对角矩阵赋予高斯核函数 for j in range(m): # next 2 lines create weights matrix diffMat = test_point - xMat[j, :] # weights[j, j] = np.exp(diffMat * diffMat.T / (-2.0 * k ** 2)) xTx = xMat.T * (weights * xMat) if np.linalg.det(xTx) == 0.0: print("This matrix is singular, cannot do inverse") return self.ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) def ridgeFit(self, x_data, y_data, lam=0.2): ''' 岭回归拟合 :param x_data: 训练数据的特征值 :param y_data: 训练数据的y值 :param lam: lambda的取值 :return: 线性回归的参数 ''' x_matrix = np.matrix(x_data) y_matrix = np.matrix(y_data) denom = x_matrix.T * x_matrix + lam * np.eye(x_matrix.shape[1]) if np.linalg.det(denom) == 0: print("This matrix is singular, cannot do inverse") return else: self.ws = denom.I * (x_matrix.T * y_matrix) def stageWiseFit(self, x_data, y_data, epsilon=0.01, iterations=200): ''' 计算前向逐步回归的参数 :param x_data: 训练数据集 :param y_data: 训练数据的输出值 :param epsilon: 步长 :param iterations: 迭代次数 :return: 返回每一次迭代过程中的权重大小 ''' x_matrix = np.matrix(x_data) y_matrix = np.matrix(y_data) weight_num = x_data.shape[1] # 初始化权重 self.ws = np.zeros((weight_num, 1)) bset_w = self.ws.copy() # 初始化权重的记录矩阵 # （用returnMat矩阵记录iterations次迭代中的权重 returnMat = np.zeros((iterations, weight_num)) # testing code remove for i in range(iterations): lowest_error = np.inf # 修改第j个特征的权重 for j in range(weight_num): # sign 决定方向，往哪边走 for sign in [-1, 1]: current_w = self.ws.copy() current_w[j] += epsilon * sign y_hat = x_matrix * current_w # 修改第j个特征后，误差是否有所降低？ current_error = rssError(y_matrix.A, y_hat.A) if lowest_error > current_error: lowest_error = current_error bset_w = current_w self.ws = bset_w returnMat[i, :] = self.ws.T return returnMat def predict(self, x_data): ''' 预测数据 :param x_data: 预测的特征值 :return: y模拟值 ''' x_matrix = np.mat(x_data.values) return x_matrix * self.ws def rssError(yArr, yHatArr): #yArr and yHatArr both need to be arrays ''' 计算mse :param yArr: y的真实值 :param yHatArr: y的模拟值 :return: mse ''' return ((yArr-yHatArr)**2).sum() def corrCoef(y_hat, y): ''' 计算相关系数 :param y_hat: 模拟值 :param y: 真实值 :return: 相关系数矩阵 ''' return np.corrcoef(y_hat.T, y.T) def regularize(data): ''' 标准化数据 :param data: 待标准化的dataframe :return: 标准化后的dataframe ''' data = (data - data.mean()) / data.var() return data岭回归和LASSO回归的区别 统计学习方法 西瓜书 机器学习实战
