Cross Entropy是分类问题中常见的一种损失函数，我们在之前的文章提到过二值交叉熵的证明和交叉熵的作用，下面解释一下交叉熵损失的求导。 首先一个模型的最后一层神经元的输出记为 f 0 . . . f i f_{0}...f_{i} f0...fi， 输出经过softmax激活之后记为 p 0 . . . p i p_{0}...p_{i} p0...pi，那么： p i = e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k p_{i} = \frac{e^{f_{i}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} pi=∑k=0C−1efkefi 类别的实际标签记为 y 0 . . . y i y_{0}...y_{i} y0...yi，那么交叉熵损失L为： L = − ∑ i = 0 C − 1 y i l o g p i L = -\sum_{i=0}^{C-1} y_{i}log^{p_{i}} L=−i=0∑C−1yilogpi 上式中的 l o g log log是一种简写，为了后续的求导方便，一般我们认为 l o g log log的底是 e e e，即 l o g log log为 l n ln ln。 那么 L L L对第 i i i个神经元的输出 f i f_{i} fi求偏导 ∂ L ∂ f i \frac{\partial L}{\partial f_{i}} ∂fi∂L: 根据复合函数求导原则： ∂ L ∂ f i = ∑ j = 0 C − 1 ∂ L j ∂ p j ∂ p j ∂ f i \frac{\partial L}{\partial f_{i}} = \sum_{j=0}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} ∂fi∂L=j=0∑C−1∂pj∂Lj∂fi∂pj 在这里需要说明，在softmax中我们使用了下标 i i i和 k k k，在交叉熵中使用了下标 i i i，但是这里的两个 i i i并不等价，因为softmax的分母中包含了每个神经元的输出 f f f，也就是激活后所有的 p p p对任意的 f i f_{i} fi求偏导都不为0，同时 L L L中又包含了所有的 p p p，所以为了避免重复我们需要为 p p p引入一个新的下标 j j j， j j j有 0... C − 1 0...C-1 0...C−1这C种情况。 那么依次求导：
∂ L j ∂ p j = ∂ ( − y j l o g p j ) ∂ ( p j ) \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}= \frac{\partial (-y_{j}log^{p_{j}})}{\partial (p_{j})} ∂pj∂Lj=∂(pj)∂(−yjlogpj)
由于默认一般我们认为 l o g log log的底是 e e e，即 l o g log log为 l n ln ln，所以：
∂ L j ∂ p j = ∂ ( − y j l o g p j ) ∂ ( p j ) = − y j p j \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}= \frac{\partial (-y_{j}log^{p_{j}})}{\partial (p_{j})} =-\frac{y_{j}}{p_{j}} ∂pj∂Lj=∂(pj)∂(−yjlogpj)=−pjyj
接着要求 ∂ p j ∂ f i \frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} ∂fi∂pj的值，在这里可以发现，每一个 p j p_{j} pj中都包含 f i f_{i} fi，所以 ∂ p j ∂ f i \frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} ∂fi∂pj都不是0，但是 j = i j=i j=i和 j ≠ i j \neq i j=i的时候， ∂ p j ∂ f i \frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} ∂fi∂pj结果又不相同，所以这里需要分开讨论：
首先 j = i j=i j=i时： ∂ p j ∂ f i = ∂ p i ∂ f i = ∂ e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k ∂ f i \frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} = \frac{\partial p_{i}}{\partial f_{i}} = \frac{\partial \frac{e^{f_{i}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}}{\partial f_{i}} ∂fi∂pj=∂fi∂pi=∂fi∂∑k=0C−1efkefi = ( e f i ) ′ ∑ k = 0 C − 1 e f k − e f i ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) ′ ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) 2 = \frac{ (e^{f_{i}})' \sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - e^{f_{i}}(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})' }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} =(∑k=0C−1efk)2(efi)′∑k=0C−1efk−efi(∑k=0C−1efk)′ = e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k − ( e f i ) 2 ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) 2 = e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k − ( e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k ) 2 = \frac{ e^{f_{i}}\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - (e^{f_{i}})^2 }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}}= \frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} - (\frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}})^2 =(∑k=0C−1efk)2efi∑k=0C−1efk−(efi)2=∑k=0C−1efkefi−(∑k=0C−1efkefi)2 = p i − ( p i ) 2 = p i ( 1 − p i ) = p_{i}-(p{i})^2 = p_{i}(1-p_{i}) =pi−(pi)2=pi(1−pi)
然后 j ≠ i j\neq i j=i时： ∂ p j ∂ f i = ∂ e f j ∑ k = 0 C − 1 e f k ∂ f i \frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}= \frac{\partial \frac{e^{f_{j}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}}{\partial f_{i}} ∂fi∂pj=∂fi∂∑k=0C−1efkefj = ( e f j ) ′ ∑ k = 0 C − 1 e f k − e f j ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) ′ ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) 2 = \frac{ (e^{f_{j}})' \sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - e^{f_{j}}(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})' }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} =(∑k=0C−1efk)2(efj)′∑k=0C−1efk−efj(∑k=0C−1efk)′ = − e f i e f j ( ∑ k = 0 C − 1 e f k ) 2 = − e f i ∑ k = 0 C − 1 e f k e f j ∑ k = 0 C − 1 e f k = \frac{ - e^{f_{i}} e^{f_{j}} }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} = - \frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} \frac{ e^{f_{j}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} =(∑k=0C−1efk)2−efiefj=−∑k=0C−1efkefi∑k=0C−1efkefj = − p i p j = -p_{i}p_{j} =−pipj
对于最后的偏导数，需要把上述两个部分加起来： ∂ L ∂ f i = ∑ j = i C − 1 ∂ L j ∂ p j ∂ p j ∂ f i + ∑ j ≠ i C − 1 ∂ L j ∂ p j ∂ p j ∂ f i \frac{\partial L}{\partial f_{i}} = \sum_{j=i}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} + \sum_{j\neq i}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} ∂fi∂L=j=i∑C−1∂pj∂Lj∂fi∂pj+j=i∑C−1∂pj∂Lj∂fi∂pj = − y i p i p i ( 1 − p i ) + ∑ j ≠ i C − 1 − p i p j ( − y j p j ) =-\frac{y_{i}}{p_{i}}p_{i}(1-p_{i}) + \sum_{j\neq i}^{C-1}-p_{i}p_{j}(-\frac{y_{j}}{p_{j}}) =−piyipi(1−pi)+j=i∑C−1−pipj(−pjyj) = − y i ( 1 − p i ) + ∑ j ≠ i C − 1 p i y j =-y_{i}(1-p_{i}) + \sum_{j\neq i}^{C-1}p_{i}y_{j} =−yi(1−pi)+j=i∑C−1piyj = y i p i − y i + ∑ j ≠ i C − 1 p i y j =y_{i}p_{i}-y_{i} + \sum_{j\neq i}^{C-1}p_{i}y_{j} =yipi−yi+j=i∑C−1piyj
在上式中， j ≠ i j\neq i j=i的情况中刚好缺了 j = i j=i j=i，所以可以继续改写为： = ∑ j = 0 C − 1 p i y j − y i =\sum_{j=0}^{C-1}p_{i}y_{j} - y_{i} =j=0∑C−1piyj−yi = p i ∑ j = 0 C − 1 y j − y i =p_{i}\sum_{j=0}^{C-1}y_{j} - y_{i} =pij=0∑C−1yj−yi 而 ∑ j = 0 C − 1 y j = 1 \sum_{j=0}^{C-1}y_{j} = 1 ∑j=0C−1yj=1，所以： = p i ∑ j = 0 C − 1 y j − y i = p i − y i =p_{i}\sum_{j=0}^{C-1}y_{j} - y_{i} = p_{i}-y_{i} =pij=0∑C−1yj−yi=pi−yi
